Calcule o comprimento de arco de
entre
e
, onde
,
e
são como abaixo.
e
;
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada e pede o comprimento de arco entre os parâmetros
e
. Dados:
- Curva
definida por . - Intervalo de parâmetros:
e .
O que se pede: calcular o comprimento de arco da curva
quando
varia de
até
.
Passo 2
Conceito e fórmula (aula curta e intuitiva). Para uma curva parametrizada por
com
, o comprimento de arco
é obtido pela soma contínua dos pequenos comprimentos ao longo da curva. Formalmente:
Aqui:
-
é o vetor derivada de (derivada coordenada a coordenada). -
é a norma euclidiana (comprimento) desse vetor, isto é, se então
Essa fórmula vem da ideia de aproximar a curva por segmentos de reta pequenos e passar ao limite (no exame, basta memorizar e saber aplicar).
Passo 3
Calcular
coordenada a coordenada. Derivando cada componente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Passo 4
Calcular a norma
. Usando a definição:
Agora observe que
é um quadrado perfeito: é exatamente
, pois
Portanto
Como no intervalo
temos
, a valor absoluto é redundante e
Passo 5
Montar a integral do comprimento e calcular. Usando a fórmula do Passo 2:
Integrando termo a termo:
Somando: