Calcule o comprimento de arco de \alpha entre a e b, onde \alpha, a e b são como abaixo.
\alpha(t)=\left(2 t, t^{2}, t^{3} / 3\right), a=0 e b=1;

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada e pede o comprimento de arco entre os parâmetros a e b. Dados:
  • Curva \alpha definida por \alpha(t)=\left(2t,\;t^{2},\;t^{3}/3\right).
  • Intervalo de parâmetros: a=0 e b=1.
O que se pede: calcular o comprimento de arco da curva \alpha quando t varia de 0 até 1.

Passo 2

Conceito e fórmula (aula curta e intuitiva). Para uma curva parametrizada por \alpha(t) com t\in[a,b], o comprimento de arco L é obtido pela soma contínua dos pequenos comprimentos ao longo da curva. Formalmente:
L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(t)\|\,dt.
Aqui:
  • \alpha'(t) é o vetor derivada de \alpha (derivada coordenada a coordenada).
  • \|\alpha'(t)\| é a norma euclidiana (comprimento) desse vetor, isto é, se \alpha'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)) então
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}.
Essa fórmula vem da ideia de aproximar a curva por segmentos de reta pequenos e passar ao limite (no exame, basta memorizar e saber aplicar).

Passo 3

Calcular \alpha'(t) coordenada a coordenada. Derivando cada componente:
  • Derivada de 2t em relação a t é 2.
  • Derivada de t^{2} é 2t.
  • Derivada de t^{3}/3 é t^{2}.
Logo
\alpha'(t)=\bigl(2,\;2t,\;t^{2}\bigr).

Passo 4

Calcular a norma \|\alpha'(t)\|. Usando a definição:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{2^{2}+(2t)^{2}+(t^{2})^{2}}=\sqrt{4+4t^{2}+t^{4}}.
Agora observe que 4+4t^{2}+t^{4} é um quadrado perfeito: é exatamente (t^{2}+2)^{2}, pois
(t^{2}+2)^{2}=t^{4}+4t^{2}+4.
Portanto
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(t^{2}+2)^{2}}=|t^{2}+2|.
Como no intervalo [0,1] temos t^{2}+2>0, a valor absoluto é redundante e
\|\alpha'(t)\|=t^{2}+2\quad\text{para }0\le t\le1.

Passo 5

Montar a integral do comprimento e calcular. Usando a fórmula do Passo 2:
L=\int_{0}^{1}\|\alpha'(t)\|\,dt=\int_{0}^{1}(t^{2}+2)\,dt.
Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1}t^{2}\,dt=\left[\dfrac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}, \qquad \int_{0}^{1}2\,dt=\left[2t\right]_{0}^{1}=2.
Somando:
L=\dfrac{1}{3}+2=\dfrac{1}{3}+\dfrac{6}{3}=\dfrac{7}{3}.

Resposta

\dfrac{7}{3}

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