Calcule o comprimento de arco de \alpha entre a e b, onde \alpha, a e b são como abaixo.
\alpha(t)=\mathrm{e}^{t}(\cos t, \operatorname{sen} t, 1), a=0 e b=\log 3;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Curva paramétrica: \alpha(t)=\mathrm{e}^{t}\big(\cos t,\;\sin t,\;1\big).
  • Intervalo de parametrização: a=0 e b=\ln 3.
  • O que se pede: calcular o comprimento de arco de \alpha entre t=a e t=b.

Passo 2

Recordando a fórmula que vamos usar (explicação didática): o comprimento de arco de uma curva parametrizada por t de a a b é
L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(t)\|\,\mathrm{d}t,
onde \alpha'(t) é a derivada componente a componente e \|\cdot\| é a norma euclidiana do vetor. Ou seja, primeiro calculamos \alpha'(t), depois a norma \|\alpha'(t)\|, e então integramos essa norma de a a b.

Passo 3

Derivamos componente a componente. Para isso uso a regra do produto: se u(t)v(t) então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u(t)=\mathrm{e}^t e as componentes são v_1(t)=\cos t, v_2(t)=\sin t, v_3(t)=1.
  • Derivada da primeira componente:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mathrm{e}^{t}\cos t\big) =\mathrm{e}^{t}\cos t+\mathrm{e}^{t}(-\sin t) =\mathrm{e}^{t}(\cos t-\sin t).
  • Derivada da segunda componente:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mathrm{e}^{t}\sin t\big) =\mathrm{e}^{t}\sin t+\mathrm{e}^{t}\cos t =\mathrm{e}^{t}(\sin t+\cos t).
  • Derivada da terceira componente:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(\mathrm{e}^{t}\cdot 1\big)=\mathrm{e}^{t}.
Portanto
\alpha'(t)=\mathrm{e}^{t}\big(\cos t-\sin t,\;\sin t+\cos t,\;1\big).

Passo 4

Calcular a norma \|\alpha'(t)\|. A norma euclidiana ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:
\|\alpha'(t)\|^{2}=\mathrm{e}^{2t}\big[(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}+1\big].
Vamos simplificar o colchete:
(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2} =\big(\cos^{2}t-2\cos t\sin t+\sin^{2}t\big) +\big(\sin^{2}t+2\cos t\sin t+\cos^{2}t\big).
Os termos de 2\cos t\sin t se cancelam e somando os restantes obtemos
2\cos^{2}t+2\sin^{2}t=2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=2\cdot 1=2,
usando a identidade trigonométrica \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Assim o colchete vira 2+1=3.
Logo
\|\alpha'(t)\|^{2}=\mathrm{e}^{2t}\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad \|\alpha'(t)\|=\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{t}.
(Escolhemos a raiz positiva porque norma é não negativa.)

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do comprimento:
L=\int_{a}^{b}\|\alpha'(t)\|\,\mathrm{d}t =\int_{0}^{\ln 3}\sqrt{3}\,\mathrm{e}^{t}\,\mathrm{d}t.
Explico a integral: \sqrt{3} é constante em t, a antiderivada de \mathrm{e}^{t} é \mathrm{e}^{t}. Portanto
L=\sqrt{3}\left[\mathrm{e}^{t}\right]_{0}^{\ln 3} =\sqrt{3}\big(\mathrm{e}^{\ln 3}-\mathrm{e}^{0}\big).
Lembrando que \mathrm{e}^{\ln 3}=3 e \mathrm{e}^{0}=1, obtemos
L=\sqrt{3}\,(3-1)=2\sqrt{3}.

Resposta

2\sqrt{3}

Exercícios relacionados