Calcule o comprimento de arco de
entre
e
, onde
,
e
são como abaixo.
e
;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Curva paramétrica:
. - Intervalo de parametrização:
e . - O que se pede: calcular o comprimento de arco de
entre e .
Passo 2
Recordando a fórmula que vamos usar (explicação didática): o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
de
a
é
onde
é a derivada componente a componente e
é a norma euclidiana do vetor. Ou seja, primeiro calculamos
, depois a norma
, e então integramos essa norma de
a
.
Passo 3
Derivamos componente a componente. Para isso uso a regra do produto: se
então
. Aqui
e as componentes são
,
,
.
- Derivada da primeira componente:
- Derivada da segunda componente:
- Derivada da terceira componente:
Portanto
Passo 4
Calcular a norma
. A norma euclidiana ao quadrado é soma dos quadrados das componentes:
Vamos simplificar o colchete:
Os termos de
se cancelam e somando os restantes obtemos
usando a identidade trigonométrica
. Assim o colchete vira
.
Logo
(Escolhemos a raiz positiva porque norma é não negativa.)
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do comprimento:
Explico a integral:
é constante em
, a antiderivada de
é
. Portanto
Lembrando que
e
, obtemos