Calcular \int_{1}^{3} x d x+\int_{3}^{5} x d x-\int_{5}^{1} x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão que envolve três integrais definidas:
\int_{1}^{3} x\,dx + \int_{3}^{5} x\,dx - \int_{5}^{1} x\,dx.
Informações dadas: são integrais definidas da função f(x)=x em intervalos [1,3], [3,5] e [5,1]. A tarefa é avaliar essa combinação numérica.

Passo 2

Vou lembrar e explicar algumas propriedades básicas de integrais definidas que vou usar (essas valem para qualquer função integrável):
  • Linearidade e aditividade em intervalos encadeados: se a<b<c então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{b}^{c} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx.
Isso significa que integrar de a a b e depois de b a c é o mesmo que integrar direto de a a c.
  • Trocar os limites inverte o sinal:
\int_{b}^{a} f(x)\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Vou usar essas duas propriedades para simplificar a expressão antes de calcular antiderivadas.

Passo 3

Aplicando a aditividade aos dois primeiros termos, como os intervalos [1,3] e [3,5] são adjacentes, temos
\int_{1}^{3} x\,dx + \int_{3}^{5} x\,dx = \int_{1}^{5} x\,dx.
Portanto a expressão original vira
\int_{1}^{5} x\,dx - \int_{5}^{1} x\,dx.

Passo 4

Agora uso a propriedade de troca de limites no terceiro termo: \int_{5}^{1} x\,dx = -\int_{1}^{5} x\,dx. Substituindo,
\int_{1}^{5} x\,dx - \int_{5}^{1} x\,dx = \int_{1}^{5} x\,dx - \bigl(-\int_{1}^{5} x\,dx\bigr) = 2\int_{1}^{5} x\,dx.

Passo 5

Para calcular \int_{1}^{5} x\,dx uso a regra da potência para primitiva: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
No caso n=1, a primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Então a integral definida é dada por avaliar a primitiva nas extremidades:
\int_{1}^{5} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{1}^{5} = \frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}.

Passo 6

Calculo os valores numéricos:
\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2} = \frac{25}{2} - \frac{1}{2} = \frac{24}{2} = 12.
Logo \int_{1}^{5} x\,dx = 12. Da etapa anterior temos que a expressão original vale 2 vezes isso, ou seja 2\cdot 12 = 24.

Resposta

24

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