Resolva as integrais abaixo:
integral 1raizx^2-4 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral: integral 1raizx^2-4 x +5 , dx. A matéria que isso envolve é o cálculo integral, mais especificamente integrais que envolvem funções quadráticas dentro de raízes. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o completamento de quadrado e conhecer algumas técnicas de integração para funções que têm esse formato.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: x^2 - 4x + 5. Para facilitar a integração, a gente vai completar o quadrado dessa expressão. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos completar o quadrado para x^2 - 4x + 5. O completamento do quadrado envolve reescrever a expressão como (x - a)^2 + b.
Primeiro, pegue metade do coeficiente de x, que é -4, então metade é -2. Ao quadrado, fica (-2)^2 = 4. Agora, reescrevemos a expressão:
x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1

Passo 4

Agora que temos (x - 2)^2 + 1, a integral original fica:
integral 1raiz(x - 2)^2 + 1 , dx
Esse formato é mais fácil de integrar porque se assemelha à forma básica integral 1raizu^2 + a^2 , du, cuja integral é ln|u + raizu^2 + a^2| + C.

Passo 5

Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Seja u = x - 2, então du = dx. A integral se transforma em:
integral 1raizu^2 + 1 , du
Agora, aplicamos a fórmula da integral padrão:
integral 1raizu^2 + a^2 , du = ln|u + raizu^2 + a^2| + C
Aqui, a = 1, então a integral fica:
ln|u + raizu^2 + 1| + C

Passo 6

Substituindo de volta u = x - 2, temos:
ln|x - 2 + raiz(x - 2)^2 + 1| + C
E lembra que (x - 2)^2 + 1 = x^2 - 4x + 5, então podemos escrever:
ln|x - 2 + raizx^2 - 4x +5| + C

Resposta

A integral é igual a:
ln|x - 2 + raizx^2 - 4x +5| + C

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