Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral:
. A matéria que isso envolve é o cálculo integral, mais especificamente integrais que envolvem funções quadráticas dentro de raízes. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o completamento de quadrado e conhecer algumas técnicas de integração para funções que têm esse formato.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Para facilitar a integração, a gente vai completar o quadrado dessa expressão. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de integrar.
Passo 3
Vamos completar o quadrado para
. O completamento do quadrado envolve reescrever a expressão como
.
Primeiro, pegue metade do coeficiente de
, que é
, então metade é
. Ao quadrado, fica
. Agora, reescrevemos a expressão:
Passo 4
Agora que temos
, a integral original fica:
Esse formato é mais fácil de integrar porque se assemelha à forma básica
, cuja integral é
.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Seja
, então
. A integral se transforma em:
Agora, aplicamos a fórmula da integral padrão:
Aqui,
, então a integral fica:
Passo 6
Substituindo de volta
, temos:
E lembra que
, então podemos escrever:
Resposta
A integral é igual a: