Calcule o comprimento de arco da curva beta(t)=(t-sen t, 1-cos t) entre t=0 e t=2 pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva beta(t)=(t-sin t,;1-cos t) para t de 0 a 2pi. O conteúdo é cálculo de comprimento de arco e vamos precisar da fórmula
L=integral0^2pi|beta'(t)|,dt
além de calcular beta'(t) e sua norma.

Passo 2

Derivando a curva componente a componente, temos
beta'(t)=l(1-cos t,;sin tr)
Isso vem de derivar tmapsto t dando 1, de tmapsto -sin t dando -cos t, e de tmapsto 1-cos t dando sin t.

Passo 3

Agora calculamos a norma:
|beta'(t)|=raiz(1-cos t)^2+(sin t)^2 =raiz1-2cos t+cos^2 t+sin^2 t =raiz2-2cos t

Passo 4

Para simplificar usamos a identidade 1-cos t=2sin^2(tfrac t2), logo
|beta'(t)|=raiz4sin^2l(tfrac t2r)=2l|sin(tfrac t2)r|
Como sin(tfrac t2)>=0 em [0,2pi], fica |beta'(t)|=2sin(tfrac t2).

Passo 5

Finalmente integramos:
L=integral0^2pi2sinl(tfrac t2r),dt =2cdotl[-2cosl(tfrac t2r)r]0^2pi =-4l(cospi-cos0r) =-4l(-1-1r)=8

Resposta

8

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