Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conéxo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o domínio da função $ Z = \ln (x - y) + \arcsen|x| $ e dizer se esse domínio é aberto, fechado, limitado ou conexo. Para isso, vamos usar conceitos de funções e análise de domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Ou seja, onde a gente pode calcular $ Z $ sem ter problemas, como dividir por zero ou tirar log de número negativo.
Passo 3
Vamos analisar as duas partes da função:
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$ \ln(x - y) $: O logaritmo natural só está definido para números positivos. Então, precisamos que $ x - y > 0 $. Isso significa que $ x > y $.
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$ \arcsen|x| $: A função $ \arcsen $ está definida para valores entre -1 e 1. Mas como temos o valor absoluto de $ x $, ou seja, $ |x| $, isso sempre será positivo. Então, $ |x| $ precisa estar entre 0 e 1: $ 0 \leq |x| \leq 1 $. Isso significa que $ -1 \leq x \leq 1 $.
Passo 4
Juntando as duas condições:
- $ x > y $
- $ -1 \leq x \leq 1 $
Então, o domínio da função $ Z $ é o conjunto de todos os pares
onde $ x $ está entre -1 e 1 e $ y $ é menor que $ x $.
Passo 5
Agora, vamos ver as propriedades desse domínio:
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Aberto ou Fechado: O domínio não inclui as fronteiras onde $ x = y $ ou $ |x| = 1 $. Então, é aberto.
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Limitado: Como $ x $ está entre -1 e 1 e não há restrição para $ y $ além de ser menor que $ x $, o domínio se estende para baixo indefinidamente. Portanto, não é limitado.
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Conexo: O domínio é um conjunto contínuo, sem partes separadas. Então, é conexo.
Resposta
O domínio da função $ Z = \ln (x - y) + \arcsen|x| $ é o conjunto de todos os pares
onde $ -1 \leq x \leq 1 $ e $ y < x $. Esse domínio é aberto, não limitado e conexo.