Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conéxo.
Z=raizy^2-x+log (x^2+y^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o domínio da função $ Z = \sqrt{y^{2} - x} + \log(x^{2} + y^{2} - 1) $ e dizer se esse domínio é aberto, fechado, limitado ou conexo. Para isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e os conceitos de aberto, fechado, limitado e conexo. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, o domínio de uma função são todos os pares (x, y) que fazem a função dar um resultado válido, ou seja, onde todos os operadores na função estão bem definidos. No nosso caso, temos duas partes na função: a raiz quadrada raizy^2 - x e o logaritmo log(x^2 + y^2 - 1). Vamos analisar cada uma delas.

Passo 3

Para a raiz quadrada raizy^2 - x estar definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos a condição:
y^2 - x >= 0
Isso significa que:
x <= y^2

Passo 4

Agora, para o logaritmo log(x^2 + y^2 - 1) estar definido, o que está dentro dele precisa ser maior que zero. Então, temos:
x^2 + y^2 - 1 > 0
O que simplifica para:
x^2 + y^2 > 1
Isso representa o interior de um círculo de raio 1, mas sem incluir a borda.

Passo 5

Juntando as duas condições que encontramos:
  1. $ x \leq y^{2} $
  2. $ x^{2} + y^{2} > 1 $
O domínio da função $ Z $ é o conjunto de todos os pontos x <= y^2 que satisfazem ambas as condições acima.

Passo 6

Vamos imaginar graficamente essas restrições:
  • $ x \leq y^{2} $ é uma parábola que abre para a esquerda.
  • $ x^{2} + y^{2} > 1 $ é a região fora do círculo de raio 1.
Então, o domínio é onde a parábola está à esquerda do círculo de raio 1, sem incluir a borda do círculo.

Passo 7

Agora, vamos analisar as propriedades do domínio:
  • Aberto ou Fechado: O domínio não inclui a borda do círculo ($ x^{2} + y^{2} = 1 $), então ele é aberto.
  • Limitado: Como a parábola se estende para o infinito à esquerda, o domínio não está contido em nenhum círculo de raio finito. Portanto, é ilimitado.
  • Conexo: A região é toda contínua, sem pedaços separados. Então, é conexo.

Resposta

O domínio da função $ Z = \sqrt{y^{2} - x} + \log(x^{2} + y^{2} - 1) $ é o conjunto de pontos Z = raizy^2 - x + log(x^2 + y^2 - 1) onde $ x \leq y^{2} $ e $ x^{2} + y^{2} > 1 $. Este domínio é aberto, ilimitado e conexo.

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