Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conéxo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o domínio da função $ Z = \sqrt{y^{2} - x} + \log(x^{2} + y^{2} - 1) $ e dizer se esse domínio é aberto, fechado, limitado ou conexo. Para isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e os conceitos de aberto, fechado, limitado e conexo. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, o domínio de uma função são todos os pares
que fazem a função dar um resultado válido, ou seja, onde todos os operadores na função estão bem definidos. No nosso caso, temos duas partes na função: a raiz quadrada
e o logaritmo
. Vamos analisar cada uma delas.
Passo 3
Para a raiz quadrada
estar definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos a condição:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, para o logaritmo
estar definido, o que está dentro dele precisa ser maior que zero. Então, temos:
O que simplifica para:
Isso representa o interior de um círculo de raio 1, mas sem incluir a borda.
Passo 5
Juntando as duas condições que encontramos:
- $ x \leq y^{2} $
- $ x^{2} + y^{2} > 1 $
O domínio da função $ Z $ é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem ambas as condições acima.
Passo 6
Vamos imaginar graficamente essas restrições:
- $ x \leq y^{2} $ é uma parábola que abre para a esquerda.
- $ x^{2} + y^{2} > 1 $ é a região fora do círculo de raio 1.
Então, o domínio é onde a parábola está à esquerda do círculo de raio 1, sem incluir a borda do círculo.
Passo 7
Agora, vamos analisar as propriedades do domínio:
- Aberto ou Fechado: O domínio não inclui a borda do círculo ($ x^{2} + y^{2} = 1 $), então ele é aberto.
- Limitado: Como a parábola se estende para o infinito à esquerda, o domínio não está contido em nenhum círculo de raio finito. Portanto, é ilimitado.
- Conexo: A região é toda contínua, sem pedaços separados. Então, é conexo.
Resposta
O domínio da função $ Z = \sqrt{y^{2} - x} + \log(x^{2} + y^{2} - 1) $ é o conjunto de pontos
onde $ x \leq y^{2} $ e $ x^{2} + y^{2} > 1 $. Este domínio é aberto, ilimitado e conexo.