Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conéxo.
Z=arcsen(x-y)+arccos (y-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ Z = \arcsen(x - y) + \arccos(y - 2x) $ e precisamos:
  1. Esboçar o domínio dessa função.
  2. Dizer se o domínio é aberto, fechado, limitado ou conexo.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as restrições das funções e Z = arcsen(x - y) + arccos(y - 2x) , e entender alguns conceitos de conjuntos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os pares (x, y) para os quais a função está definida. No nosso caso, isso significa que ambos e arcsen(x - y) precisam estar definidos.

Passo 3

A função está definida quando arcsen(u). Então, para , temos:
-1 <= u <= 1
Isso nos dá duas inequações:
arcsen(x - y)

Passo 4

Analogamente, a função arccos(v) está definida quando -1 <= v <= 1. Então, para arccos(y - 2x), temos:
-1 <= y - 2x <= 1
Isso também resulta em duas inequações:
y - 2x >= -1 e y - 2x <= 1

Passo 5

Agora, temos quatro desigualdades:
  1. x - y >= -1
  2. x - y <= 1
  3. y - 2x >= -1
  4. y - 2x <= 1
Vamos resolver cada uma para achar as relações entre x e y.

Passo 6

Resolvendo a primeira desigualdade:
x - y >= -1 Rightarrow y <= x + 1
A segunda desigualdade:
x - y <= 1 Rightarrow y >= x - 1
A terceira desigualdade:
y - 2x >= -1 Rightarrow y >= 2x - 1
A quarta desigualdade:
y - 2x <= 1 Rightarrow y <= 2x + 1

Passo 7

Agora, vamos juntar todas essas restrições:
x - 1 <= y <= x + 1
2x - 1 <= y <= 2x + 1
Essas desigualdades definem uma região no plano xy onde todas as condições são satisfeitas simultaneamente.

Passo 8

Para esboçar o domínio, vamos desenhar as quatro linhas:
  1. y = x + 1
  2. y = x - 1
  3. y = 2x + 1
  4. y = 2x - 1
A interseção dessas regiões forma uma área limitada onde todas as desigualdades são verdadeiras. Essa área é um polígono convexo.

Passo 9

Agora, vamos analisar as propriedades desse domínio:
  • Aberto ou fechado: O domínio inclui os limites das desigualdades ( <= e >=), então é fechado.
  • Limitado: A região está limitada pelas quatro linhas, não se estende ao infinito, então é limitado.
  • Conexo: A região é contínua, sem quebras ou partes separadas, então é conexo.

Passo 10

Então, resumindo:
  • Domínio: A região no plano xy delimitada pelas linhas y = x pm 1 e y = 2x pm 1.
  • Propriedades: O domínio é fechado, limitado e conexo.

Resposta

O domínio da função $ Z = \arcsen(x - y) + \arccos(y - 2x) $ é a região no plano Z = arcsen(x - y) + arccos(y - 2x) delimitada pelas linhas xy, y = x + 1, y = x - 1 e y = 2x + 1. Esse domínio é fechado, limitado e conexo.

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