Esboçar o domínio de cada função e dizer se é abereto, fechado, limitado ou conéxo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função $ Z = \arcsen(x - y) + \arccos(y - 2x) $ e precisamos:
- Esboçar o domínio dessa função.
- Dizer se o domínio é aberto, fechado, limitado ou conexo.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as restrições das funções e
, e entender alguns conceitos de conjuntos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. No nosso caso, isso significa que ambos e
precisam estar definidos.
Passo 3
A função está definida quando
. Então, para , temos:
Isso nos dá duas inequações:
Passo 4
Analogamente, a função
está definida quando
. Então, para
, temos:
Isso também resulta em duas inequações:
Passo 5
Agora, temos quatro desigualdades:
Vamos resolver cada uma para achar as relações entre
e
.
Passo 6
Resolvendo a primeira desigualdade:
A segunda desigualdade:
A terceira desigualdade:
A quarta desigualdade:
Passo 7
Agora, vamos juntar todas essas restrições:
Essas desigualdades definem uma região no plano
onde todas as condições são satisfeitas simultaneamente.
Passo 8
Para esboçar o domínio, vamos desenhar as quatro linhas:
A interseção dessas regiões forma uma área limitada onde todas as desigualdades são verdadeiras. Essa área é um polígono convexo.
Passo 9
Agora, vamos analisar as propriedades desse domínio:
- Aberto ou fechado: O domínio inclui os limites das desigualdades (
e ), então é fechado. - Limitado: A região está limitada pelas quatro linhas, não se estende ao infinito, então é limitado.
- Conexo: A região é contínua, sem quebras ou partes separadas, então é conexo.
Passo 10
Então, resumindo:
- Domínio: A região no plano
delimitada pelas linhas e . - Propriedades: O domínio é fechado, limitado e conexo.
Resposta
O domínio da função $ Z = \arcsen(x - y) + \arccos(y - 2x) $ é a região no plano
delimitada pelas linhas
,
,
e
. Esse domínio é fechado, limitado e conexo.