f(x)=l exp (-1 / x^2), se x neq 0 0, se x=0
Use indução e mostre que f^(n)(0)=0, forall n=0,1,2,3, ldots A função f não pode ser representada por uma Série de Maclaurin numa vizinhança de x=0 ? É a função f analítica em x=0 ?

Passo 1

Temos a função f definida por
f(x) = exp(-1/x^2), & xneq 0, 0, & x=0
A tarefa é usar indução para mostrar que f^(n)(0)=0 para todo n>=0, depois discutir se f pode ser representada por sua Série de Maclaurin numa vizinhança de 0 e se é analítica em 0. Vamos precisar de derivadas, limites e do comportamento assintótico de exp(-1/x^2), além da definição de função analítica.

Passo 2

Base da indução: caso n=0 e n=1. Para n=0, por definição f(0)=0. Para n=1, aplicamos a definição de derivada em 0:
f'(0) = limxto0 f(x)-f(0)x = limxto0 exp(-1/x^2)x
Como exp(-1/x^2) decai mais rápido que qualquer potência de x, esse limite vale zero. Logo f'(0)=0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que f^(k)(0)=0 para todo k=0,1,dots,n-1. Pela definição de derivada,
f^(n)(0) = limxto0 f^(n-1)(x)-f^(n-1)(0)x = limxto0 f^(n-1)(x)x
Para xneq0, usando a regra da cadeia repetidamente em f(x)=exp(-1/x^2), mostra-se que
f^(n-1)(x) = pn-1(1/x),exp(-1/x^2),
onde pn-1 é um polinômio. Assim
f^(n-1)(x)x = pn-1(1/x),exp(-1/x^2)x,
e o fator exp(-1/x^2) anula qualquer crescimento polinomial, de modo que o limite é zero. Portanto f^(n)(0)=0.

Passo 4

Concluímos por indução que f^(n)(0)=0 para todo n>=0. A Série de Maclaurin de f em torno de 0 fica
sumn=0^infty f^(n)(0)n!x^n = 0
Porém, para xneq0, f(x)=exp(-1/x^2)>0, então essa série (que é identicamente zero) não coincide com f(x) em nenhuma vizinhança de 0. Como uma função analítica em 0 deve concordar com sua Série de Taylor num intervalo ao redor de 0, f não é analítica em x=0.

Resposta

f^(n)(0)=0 para todo n=0,1,2,dots; a Série de Maclaurin de f em torno de 0 é identicamente zero e, portanto, não representa f(x) em nenhuma vizinhança de 0; consequentemente, f não é analítica em x=0.

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