Use indução e mostre que
A função
não pode ser representada por uma Série de Maclaurin numa vizinhança de
? É a função
analítica em
?
Passo 1
Temos a função f definida por
A tarefa é usar indução para mostrar que
Passo 2
Base da indução: caso
e
. Para
, por definição
. Para
, aplicamos a definição de derivada em 0:
Como
Passo 3
Passo indutivo: suponha que
para todo
. Pela definição de derivada,
Para
, usando a regra da cadeia repetidamente em
, mostra-se que
onde
é um polinômio. Assim
e o fator
anula qualquer crescimento polinomial, de modo que o limite é zero. Portanto
.
Passo 4
Concluímos por indução que
para todo
. A Série de Maclaurin de
em torno de 0 fica
Porém, para
,
, então essa série (que é identicamente zero) não coincide com
em nenhuma vizinhança de 0. Como uma função analítica em 0 deve concordar com sua Série de Taylor num intervalo ao redor de 0,
não é analítica em
.