Calcule o comprimento de arco da curva dada, no intervalo específico:
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por
no intervalo
.
Informações dadas:
- A curva é
. - O parâmetro varia em
.
O que precisamos calcular:
- O comprimento de arco
da curva entre e .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para uma curva parametrizada por
em , o comprimento de arco no intervalo é
- Aqui
é o vetor derivada da posição; ele representa a velocidade instantânea da partícula que percorre a curva. - A norma
é a velocidade escalar, calculada por
- Intuição rápida: soma-se (integral) a velocidade ao longo do tempo para obter a distância percorrida; essa é a origem da fórmula.
Passo 3
Calcular a derivada
componente a componente.
- Para
temos
- Derivando cada componente:
- Logo
Passo 4
Calcular a norma
.
- Usando a fórmula da norma:
- Fatorando
:
- Como o intervalo é
, tem-se . Portanto
Passo 5
Montar a integral do comprimento e preparar a técnica de integração.
- Pelo passo 2,
- Para calcular essa integral usamos substituição (uma técnica padrão):
- Defina
. Então , ou seja . - Quando
tem . Quando tem .
- Defina
- Substituindo na integral:
Passo 6
Calcular a integral em
.
- Integral de potência:
. (Explicação: aumentar expoente em 1 e dividir pelo novo expoente.) - Aplicando:
- Os fatores se cancelam:
. Portanto
- Simplificando as potências:
- Logo o comprimento em forma exata é
- (Verificação numérica rápida:
, então . Isso é só para intuição; a forma exata é preferível.)