Calcule o comprimento de arco da curva dada, no intervalo específico:
\left(1,3 t^{2}, t^{3}\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva parametrizada por \left(1,\,3t^{2},\,t^{3}\right) no intervalo [0,1].
Informações dadas:
  • A curva é \mathbf{r}(t) = \bigl(1,\,3t^{2},\,t^{3}\bigr).
  • O parâmetro varia em 0 \le t \le 1.
O que precisamos calcular:
  • O comprimento de arco L da curva entre t=0 e t=1.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr) em \mathbb{R}^{3}, o comprimento de arco no intervalo [a,b] é
L=\int_{a}^{b}\big\lVert \mathbf{r}\,'(t)\big\rVert\,dt.
  • Aqui \mathbf{r}\,'(t) é o vetor derivada da posição; ele representa a velocidade instantânea da partícula que percorre a curva.
  • A norma \big\lVert \mathbf{r}\,'(t)\big\rVert é a velocidade escalar, calculada por
\big\lVert \mathbf{r}\,'(t)\big\rVert = \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}+\bigl(z'(t)\bigr)^{2}}.
  • Intuição rápida: soma-se (integral) a velocidade ao longo do tempo para obter a distância percorrida; essa é a origem da fórmula.

Passo 3

Calcular a derivada \mathbf{r}\,'(t) componente a componente.
  • Para \mathbf{r}(t)=\bigl(1,\,3t^{2},\,t^{3}\bigr) temos
x(t)=1,\qquad y(t)=3t^{2},\qquad z(t)=t^{3}.
  • Derivando cada componente:
x'(t)=0,\qquad y'(t)=6t,\qquad z'(t)=3t^{2}.
  • Logo
\mathbf{r}\,'(t)=\bigl(0,\,6t,\,3t^{2}\bigr).

Passo 4

Calcular a norma \big\lVert \mathbf{r}\,'(t)\big\rVert.
  • Usando a fórmula da norma:
\big\lVert \mathbf{r}\,'(t)\big\rVert=\sqrt{0^{2}+(6t)^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{36t^{2}+9t^{4}}.
  • Fatorando 9t^{2}:
\sqrt{36t^{2}+9t^{4}}=\sqrt{9t^{2}\bigl(4+t^{2}\bigr)}=3\,|t|\,\sqrt{4+t^{2}}.
  • Como o intervalo é 0\le t\le1, tem-se |t|=t. Portanto
\big\lVert \mathbf{r}\,'(t)\big\rVert=3t\sqrt{4+t^{2}},\qquad 0\le t\le1.

Passo 5

Montar a integral do comprimento e preparar a técnica de integração.
  • Pelo passo 2,
L=\int_{0}^{1}\big\lVert \mathbf{r}\,'(t)\big\rVert\,dt=\int_{0}^{1}3t\sqrt{4+t^{2}}\,dt.
  • Para calcular essa integral usamos substituição (uma técnica padrão):
    • Defina u=4+t^{2}. Então du=2t\,dt, ou seja t\,dt=\dfrac{du}{2}.
    • Quando t=0 tem u=4. Quando t=1 tem u=5.
  • Substituindo na integral:
L=\int_{u=4}^{u=5}3\cdot\sqrt{u}\cdot\frac{du}{2}=\frac{3}{2}\int_{4}^{5}u^{1/2}\,du.

Passo 6

Calcular a integral em u.
  • Integral de potência: \displaystyle\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}+C. (Explicação: aumentar expoente em 1 e dividir pelo novo expoente.)
  • Aplicando:
\frac{3}{2}\int_{4}^{5}u^{1/2}\,du=\frac{3}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{4}^{5}.
  • Os fatores se cancelam: \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=1. Portanto
L=\bigl[u^{3/2}\bigr]_{4}^{5}=5^{3/2}-4^{3/2}.
  • Simplificando as potências:
4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8,\qquad 5^{3/2}=5\sqrt{5}.
  • Logo o comprimento em forma exata é
L=5\sqrt{5}-8.
  • (Verificação numérica rápida: 5\sqrt{5}\approx5\cdot2{,}23607\approx11{,}18034, então L\approx11{,}18034-8=3{,}18034. Isso é só para intuição; a forma exata é preferível.)

Resposta

5\sqrt{5}-8

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