Calcule o comprimento de arco da curva dada, no intervalo específico:
(2 \cos t, 2 \sin t, t), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada e pede o comprimento de arco no intervalo indicado. Informações fornecidas:
  • A curva é \mathbf{r}(t) = (2\cos t,\; 2\sin t,\; t).
  • O parâmetro varia em 0 \le t \le 2\pi.
  • A pergunta é: calcular o comprimento de arco da curva para t nesse intervalo (ou seja, o comprimento da curva entre os pontos correspondentes a t=0 e t=2\pi).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada de forma didática): para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) com a\le t\le b, o comprimento de arco L é dado por
L=\int_a^b \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt.
Intuição rápida: se dividirmos o intervalo em pequenos pedaços de tamanho \Delta t, o deslocamento no espaço em cada pedaço é aproximado por \mathbf{r}'(t)\Delta t, e o comprimento desse pedaço é aproximadamente \|\mathbf{r}'(t)\|\Delta t; somando e fazendo o limite dá a integral acima. Aqui \mathbf{r}'(t) é o vetor derivada componente a componente, e \|\cdot\| é a norma euclidiana (a raiz da soma dos quadrados das componentes).

Passo 3

Vamos calcular a derivada componente a componente. As regras básicas de derivação que usamos:
  • \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t,
  • \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t,
  • \dfrac{d}{dt}t=1.
Aplicando isso a \mathbf{r}(t) = (2\cos t,\; 2\sin t,\; t) obtemos
\mathbf{r}'(t)=(-2\sin t,\; 2\cos t,\; 1).

Passo 4

Agora calculamos a norma \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|. Pela definição da norma euclidiana em \mathbb{R}^3,
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2+1^2}.
Desenvolvendo os quadrados:
(-2\sin t)^2=4\sin^2 t,\qquad (2\cos t)^2=4\cos^2 t,
então
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{4\sin^2 t+4\cos^2 t+1}.
Usamos a identidade trigonométrica básica \sin^2 t+\cos^2 t=1. Substituindo:
4\sin^2 t+4\cos^2 t = 4(\sin^2 t+\cos^2 t)=4\cdot 1=4.
Portanto
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Observação importante: a norma é constante (não depende de t), o que simplifica muito a integral.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do comprimento com a=0 e b=2\pi:
L=\int_0^{2\pi} \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt=\int_0^{2\pi} \sqrt{5}\,dt.
Como \sqrt{5} é constante, a integral é simplesmente \sqrt{5} vezes o comprimento do intervalo:
L=\sqrt{5}\cdot(2\pi-0)=2\pi\sqrt{5}.

Passo 6

Comentário final rápido e motivador: o resultado faz sentido geometricamente — a curva é uma hélice com raio 2 no plano xy e subida vertical de 2\pi ao completar uma volta; a velocidade é constante, por isso o comprimento de uma volta é 2\pi\sqrt{4+1}=2\pi\sqrt{5}. Você conseguiu! É só aplicar a derivada, a norma e integrar.

Resposta

2\pi\sqrt{5}

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