Seja
o segmento de reta que liga os pontos
a
.
(a) Encontre uma curva
cujo o traço seja
.
(b) Calcule o comprimento de
.
(c) Calcule
.
(a) Encontre uma curva
(b) Calcule o comprimento de
(c) Calcule
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados os pontos
e . - O enunciado pede:
(a) encontrar uma curvacujo traço seja o segmento de reta que liga a ;
(b) calcular o comprimento da curva;
(c) calcular.
Passo 2
Construção parametrizada do segmento de reta entre dois pontos (idéia e fórmula).
- Intuição: um ponto qualquer sobre o segmento entre
e pode ser obtido como uma combinação linear que vai de (quando o parâmetro vale 0) até (quando o parâmetro vale 1). Uma forma padrão é
- Aqui
é o vetor que vai de a . Ele é calculado componente a componente. Vou aplicar isso aos pontos dados.
Passo 3
Calcular explicitamente
para os pontos dados.
- Primeiro calcule
:
- Substituindo em
obtemos
- Esse é um parâmetro simples e padrão: quando
aparece e quando aparece . Assim o traço de é exatamente o segmento .
Passo 4
Derivada de
e significado (vetor tangente).
- Diferenciando componente a componente temos
- Observação:
é constante, o que faz sentido para uma reta — a direção não muda.
Passo 5
Fórmula do comprimento de uma curva e aplicação.
- Lembrete (fórmula): se
é diferenciável, o comprimento do traço é
onde
é a norma euclidiana (comprimento do vetor).
- Aqui
tem norma
- Como a norma é constante ao longo de
, o comprimento é
Passo 6
Cálculo direto de
e relação com o comprimento do segmento.
- Calcule
:
- A norma é
- Observação didática: para um segmento de reta parametrizado como
com , sempre vale . Aqui confirmamos isso: o comprimento da curva é e a distância entre e também é .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)