Seja C o segmento de reta que liga os pontos p=(1,2,0) a q=(0,1,-1).
(a) Encontre uma curva \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{3} cujo o traço seja C.
(b) Calcule o comprimento de \gamma(t).
(c) Calcule \|p-q\|.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados os pontos p=(1,2,0) e q=(0,1,-1).
  • O enunciado pede:
    (a) encontrar uma curva \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^3 cujo traço seja o segmento de reta C que liga p a q;
    (b) calcular o comprimento da curva \gamma(t);
    (c) calcular \|p-q\|.

Passo 2

Construção parametrizada do segmento de reta entre dois pontos (idéia e fórmula).
  • Intuição: um ponto qualquer sobre o segmento entre p e q pode ser obtido como uma combinação linear que vai de p (quando o parâmetro vale 0) até q (quando o parâmetro vale 1). Uma forma padrão é
\gamma(t)=p+t(q-p),\qquad t\in[0,1].
  • Aqui q-p é o vetor que vai de p a q. Ele é calculado componente a componente. Vou aplicar isso aos pontos dados.

Passo 3

Calcular explicitamente \gamma(t) para os pontos dados.
  • Primeiro calcule q-p:
q-p = (0-1,\;1-2,\;-1-0)=(-1,-1,-1).
  • Substituindo em \gamma(t)=p+t(q-p) obtemos
\gamma(t) = (1,2,0) + t(-1,-1,-1) = (1-t,\;2-t,\;-t), \qquad t\in[0,1].
  • Esse é um parâmetro simples e padrão: quando t=0 aparece \gamma(0)=p e quando t=1 aparece \gamma(1)=q. Assim o traço de \gamma é exatamente o segmento C.

Passo 4

Derivada de \gamma e significado (vetor tangente).
  • Diferenciando componente a componente temos
\gamma'(t)=\frac{d}{dt}(1-t,\;2-t,\;-t)=(-1,-1,-1).
  • Observação: \gamma'(t) é constante, o que faz sentido para uma reta — a direção não muda.

Passo 5

Fórmula do comprimento de uma curva e aplicação.
  • Lembrete (fórmula): se \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^3 é diferenciável, o comprimento L do traço é
L=\int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt,
onde \|\cdot\| é a norma euclidiana (comprimento do vetor).
  • Aqui \gamma'(t)=(-1,-1,-1) tem norma
\|\gamma'(t)\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
  • Como a norma é constante ao longo de t, o comprimento é
L=\int_0^1 \sqrt{3}\,dt = \sqrt{3}\cdot (1-0)=\sqrt{3}.

Passo 6

Cálculo direto de \|p-q\| e relação com o comprimento do segmento.
  • Calcule p-q:
p-q = (1-0,\;2-1,\;0-(-1)) = (1,1,1).
  • A norma é
\|p-q\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
  • Observação didática: para um segmento de reta parametrizado como p+t(q-p) com t\in[0,1], sempre vale L=\|q-p\|=\|p-q\|. Aqui confirmamos isso: o comprimento da curva é \sqrt{3} e a distância entre p e q também é \sqrt{3}.

Resposta

(a) \gamma(t)=(1-t,\;2-t,\;-t),\quad t\in[0,1]
(b) \sqrt{3}
(c) \sqrt{3}

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