Calcule.
\int_{-1}^{1}\left(\operatorname{sen}(3 t) \mathbf{i}+\frac{1}{1+t^{2}} \mathbf{j}+\mathbf{k}\right) \mathrm{d} t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial entre t=-1 e t=1:
\int_{-1}^{1}\left(\operatorname{sen}(3 t)\,\mathbf{i}+\frac{1}{1+t^{2}}\,\mathbf{j}+\mathbf{k}\right)\mathrm{d}t.
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
  • Limites de integração: t=-1 a t=1.
  • Componentes do integrando:
    • primeira componente: \operatorname{sen}(3 t),
    • segunda componente: \dfrac{1}{1+t^{2}},
    • terceira componente: 1.
      A pergunta é: calcular a integral vetorial completa (ou seja, calcular cada componente e montar o vetor resultado).

Passo 2

Primeiro fato útil (teorema que vamos usar): a integral de um vetor é feita componente a componente pela linearidade. Ou seja,
\int_{-1}^{1}\left(f_1(t)\,\mathbf{i}+f_2(t)\,\mathbf{j}+f_3(t)\,\mathbf{k}\right)\mathrm{d}t = \left(\int_{-1}^{1}f_1(t)\,\mathrm{d}t\right)\mathbf{i} +\left(\int_{-1}^{1}f_2(t)\,\mathrm{d}t\right)\mathbf{j} +\left(\int_{-1}^{1}f_3(t)\,\mathrm{d}t\right)\mathbf{k}.
Aplicando isso ao nosso caso, vamos calcular separadamente as três integrais:
I_1=\int_{-1}^{1}\operatorname{sen}(3 t)\,\mathrm{d}t,\qquad I_2=\int_{-1}^{1}\frac{1}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t,\qquad I_3=\int_{-1}^{1}1\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Cálculo de I_1=\int_{-1}^{1}\operatorname{sen}(3 t)\,\mathrm{d}t.
Método 1 (paridade): uma função g é ímpar se g(-t)=-g(t). A função \operatorname{sen}(3t) é ímpar porque
\operatorname{sen}(3(-t))=\operatorname{sen}(-3t)=-\operatorname{sen}(3t).
Integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-a,a] vale 0. Portanto I_1=0.
Método 2 (verificação por primitiva): \int \operatorname{sen}(3t)\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{3}\cos(3t)+C (substituição u=3t dá esse fator 1/3). Avaliando de -1 a 1:
I_1=\left[-\frac{1}{3}\cos(3t)\right]_{-1}^{1} =-\frac{1}{3}\big(\cos(3)-\cos(-3)\big).
Como \cos(-3)=\cos(3), a diferença é zero, logo I_1=0. Confirmação completa.

Passo 4

Cálculo de I_2=\int_{-1}^{1}\dfrac{1}{1+t^{2}}\,\mathrm{d}t.
Fórmula útil: uma primitiva de \dfrac{1}{1+t^{2}} é \arctan(t), pois \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\arctan(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}. Então:
I_2=\left[\arctan(t)\right]_{-1}^{1}=\arctan(1)-\arctan(-1).
Lembrando que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}, temos
I_2=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Cálculo de I_3=\int_{-1}^{1}1\,\mathrm{d}t.
A primitiva de 1 é t. Avaliando:
I_3=\left[t\right]_{-1}^{1}=1-(-1)=2.

Passo 6

Resumo dos valores das componentes calculadas:
  • I_1=0,
  • I_2=\dfrac{\pi}{2},
  • I_3=2.

Resposta

0\mathbf{i}+\dfrac{\pi}{2}\mathbf{j}+2\mathbf{k}

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