Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral do campo vetorial entre
e
:
Informações dadas (peguei diretamente do enunciado):
- Limites de integração:
a . - Componentes do integrando:
- primeira componente:
, - segunda componente:
, - terceira componente:
.
A pergunta é: calcular a integral vetorial completa (ou seja, calcular cada componente e montar o vetor resultado).
- primeira componente:
Passo 2
Primeiro fato útil (teorema que vamos usar): a integral de um vetor é feita componente a componente pela linearidade. Ou seja,
Aplicando isso ao nosso caso, vamos calcular separadamente as três integrais:
Passo 3
Cálculo de
.
Método 1 (paridade): uma função
é ímpar se
. A função
é ímpar porque
Integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
vale
. Portanto
.
Método 2 (verificação por primitiva):
(substituição
dá esse fator
). Avaliando de
a
:
Como
, a diferença é zero, logo
. Confirmação completa.
Passo 4
Cálculo de
.
Fórmula útil: uma primitiva de
é
, pois
. Então:
Lembrando que
e
, temos
Passo 5
Cálculo de
.
A primitiva de
é
. Avaliando:
Passo 6
Resumo dos valores das componentes calculadas:
-
, -
, -
.