Calcule o comprimento de arco da curva dada, no intervalo específico: (t, t \sin t, t \cos t), 0 \leq t \leq \pi.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada por (t,\;t\sin t,\;t\cos t) no intervalo [0,\pi] e pede o comprimento de arco dessa curva nesse intervalo.
Informações fornecidas:
A função vetorial que descreve a curva é \mathbf{r}(t) = \big(t,\;t\sin t,\;t\cos t\big).
O parâmetro varia em 0 \le t \le \pi.
O que é pedido:
Calcular o comprimento de arco S da curva \mathbf{r}(t) para t variando de 0 a \pi.
Passo 2
Lembrete da fórmula que vamos usar (explicação clara): o comprimento de arco de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, é dado por
S=\int_a^b \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada componente a componente (vetor velocidade) e \big\|\mathbf{r}'(t)\big\| é a norma euclidiana desse vetor (a “velocidade” escalar). Isto faz sentido porque a norma da derivada mede a taxa instantânea de variação do deslocamento com respeito a t, e integrar essa taxa dá a distância percorrida.
Passo 3
Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) componente a componente (explicando o uso da regra do produto onde necessário). A função tem três componentes:
primeira componente: x(t)=t. Derivada: x'(t)=1.
segunda componente: y(t)=t\sin t. Usando a regra do produto ((uv)'=u'v+uv'), com u=t e v=\sin t:y'(t) = 1\cdot\sin t + t\cdot\cos t = \sin t + t\cos t.
terceira componente: z(t)=t\cos t. Novamente regra do produto, com u=t, v=\cos t:z'(t) = 1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t) = \cos t - t\sin t.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\big(1,\;\sin t + t\cos t,\;\cos t - t\sin t\big).
Passo 4
Calcular a norma ao quadrado \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|^2 e simplificar cuidadosamente (explicando cada termo e como ocorre o cancelamento):
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|^2 = 1^2 + (\sin t + t\cos t)^2 + (\cos t - t\sin t)^2.
Agora expandir os quadrados:
(\sin t + t\cos t)^2 = \sin^2 t + 2t\sin t\cos t + t^2\cos^2 t,
(\cos t - t\sin t)^2 = \cos^2 t - 2t\sin t\cos t + t^2\sin^2 t.
Somando esses dois:
(\sin t + t\cos t)^2 + (\cos t - t\sin t)^2 = (\sin^2 t+\cos^2 t) + t^2(\cos^2 t+\sin^2 t) + (2t\sin t\cos t - 2t\sin t\cos t).
Usar \sin^2 t+\cos^2 t = 1 e observar que os termos cruzados 2t\sin t\cos t cancelam-se. Logo
(\sin t + t\cos t)^2 + (\cos t - t\sin t)^2 = 1 + t^2.
Montar a integral do comprimento de arco usando o resultado do passo anterior:
S=\int_0^{\pi} \sqrt{2 + t^2}\,dt.
Isto é um caso padrão do integral tipo \int \sqrt{t^2+a^2}\,dt com a^2=2 (portanto a=\sqrt{2}). Vale a pena lembrar (e eu vou mostrar rapidamente por que) a primitiva padrão:
\int \sqrt{t^2+a^2}\,dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\!\big(t+\sqrt{t^2+a^2}\big) + C.
Derivação rápida dessa fórmula (método por partes, passo a passo): seja I=\int \sqrt{t^2+a^2}\,dt. Fazer integração por partes escolhendo u=\sqrt{t^2+a^2} e dv=dt. Então du=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+a^2}}\,dt e v=t. Assim
I = t\sqrt{t^2+a^2} - \int \frac{t^2}{\sqrt{t^2+a^2}}\,dt.