Calcule o comprimento de arco da curva dada, no intervalo específico:
(t, t \sin t, t \cos t), 0 \leq t \leq \pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por (t,\;t\sin t,\;t\cos t) no intervalo [0,\pi] e pede o comprimento de arco dessa curva nesse intervalo.
Informações fornecidas:
  • A função vetorial que descreve a curva é \mathbf{r}(t) = \big(t,\;t\sin t,\;t\cos t\big).
  • O parâmetro varia em 0 \le t \le \pi.
    O que é pedido:
  • Calcular o comprimento de arco S da curva \mathbf{r}(t) para t variando de 0 a \pi.

Passo 2

Lembrete da fórmula que vamos usar (explicação clara): o comprimento de arco de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a\le t\le b, é dado por
S=\int_a^b \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada componente a componente (vetor velocidade) e \big\|\mathbf{r}'(t)\big\| é a norma euclidiana desse vetor (a “velocidade” escalar). Isto faz sentido porque a norma da derivada mede a taxa instantânea de variação do deslocamento com respeito a t, e integrar essa taxa dá a distância percorrida.

Passo 3

Calcular a derivada \mathbf{r}'(t) componente a componente (explicando o uso da regra do produto onde necessário). A função tem três componentes:
  • primeira componente: x(t)=t. Derivada: x'(t)=1.
  • segunda componente: y(t)=t\sin t. Usando a regra do produto ( (uv)'=u'v+uv'), com u=t e v=\sin t: y'(t) = 1\cdot\sin t + t\cdot\cos t = \sin t + t\cos t.
  • terceira componente: z(t)=t\cos t. Novamente regra do produto, com u=t, v=\cos t: z'(t) = 1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t) = \cos t - t\sin t.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\big(1,\;\sin t + t\cos t,\;\cos t - t\sin t\big).

Passo 4

Calcular a norma ao quadrado \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|^2 e simplificar cuidadosamente (explicando cada termo e como ocorre o cancelamento):
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|^2 = 1^2 + (\sin t + t\cos t)^2 + (\cos t - t\sin t)^2.
Agora expandir os quadrados:
(\sin t + t\cos t)^2 = \sin^2 t + 2t\sin t\cos t + t^2\cos^2 t,
(\cos t - t\sin t)^2 = \cos^2 t - 2t\sin t\cos t + t^2\sin^2 t.
Somando esses dois:
(\sin t + t\cos t)^2 + (\cos t - t\sin t)^2 = (\sin^2 t+\cos^2 t) + t^2(\cos^2 t+\sin^2 t) + (2t\sin t\cos t - 2t\sin t\cos t).
Usar \sin^2 t+\cos^2 t = 1 e observar que os termos cruzados 2t\sin t\cos t cancelam-se. Logo
(\sin t + t\cos t)^2 + (\cos t - t\sin t)^2 = 1 + t^2.
Portanto
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|^2 = 1 + (1 + t^2) = 2 + t^2.
Assim a velocidade (norma) é
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\| = \sqrt{2 + t^2}.

Passo 5

Montar a integral do comprimento de arco usando o resultado do passo anterior:
S=\int_0^{\pi} \sqrt{2 + t^2}\,dt.
Isto é um caso padrão do integral tipo \int \sqrt{t^2+a^2}\,dt com a^2=2 (portanto a=\sqrt{2}). Vale a pena lembrar (e eu vou mostrar rapidamente por que) a primitiva padrão:
\int \sqrt{t^2+a^2}\,dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\!\big(t+\sqrt{t^2+a^2}\big) + C.
Derivação rápida dessa fórmula (método por partes, passo a passo): seja I=\int \sqrt{t^2+a^2}\,dt. Fazer integração por partes escolhendo u=\sqrt{t^2+a^2} e dv=dt. Então du=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+a^2}}\,dt e v=t. Assim
I = t\sqrt{t^2+a^2} - \int \frac{t^2}{\sqrt{t^2+a^2}}\,dt.
Reescrever o integrando:
\frac{t^2}{\sqrt{t^2+a^2}}=\frac{t^2+a^2}{\sqrt{t^2+a^2}}-\frac{a^2}{\sqrt{t^2+a^2}}=\sqrt{t^2+a^2}-\frac{a^2}{\sqrt{t^2+a^2}}.
Substituindo em I:
I = t\sqrt{t^2+a^2}-\int\sqrt{t^2+a^2}\,dt + a^2\int\frac{1}{\sqrt{t^2+a^2}}\,dt.
Ou seja,
I = t\sqrt{t^2+a^2} - I + a^2\ln\!\big(t+\sqrt{t^2+a^2}\big) + C,
pois \int \dfrac{1}{\sqrt{t^2+a^2}}\,dt = \ln\!\big(t+\sqrt{t^2+a^2}\big)+C. Rearranjando:
2I = t\sqrt{t^2+a^2} + a^2\ln\!\big(t+\sqrt{t^2+a^2}\big) + C,
o que dá a fórmula anunciada. Agora aplicamos essa fórmula com a^2=2.

Passo 6

Aplicar a primitiva ao nosso caso e avaliar de 0 a \pi. Com a^2=2 a primitiva é
F(t)=\frac{t}{2}\sqrt{t^2+2} + \ln\!\big(t+\sqrt{t^2+2}\big).
(Isto porque \dfrac{a^2}{2}=\dfrac{2}{2}=1.) Agora avaliar:
  • Em t=\pi: F(\pi)=\frac{\pi}{2}\sqrt{\pi^2+2} + \ln\!\big(\pi+\sqrt{\pi^2+2}\big).
  • Em t=0: F(0)=\frac{0}{2}\sqrt{0+2} + \ln\!\big(0+\sqrt{2}\big) = \ln\!\big(\sqrt{2}\big) = \tfrac{1}{2}\ln 2.
Portanto o comprimento é
S = F(\pi)-F(0)=\frac{\pi}{2}\sqrt{\pi^2+2} + \ln\!\big(\pi+\sqrt{\pi^2+2}\big) - \tfrac{1}{2}\ln 2.
Se desejar uma aproximação numérica, isso vale aproximadamente S\approx 6{,}949 (verificação rápida).

Resposta

\frac{\pi}{2}\sqrt{\pi^2+2} + \ln\!\big(\pi+\sqrt{\pi^2+2}\big) - \tfrac{1}{2}\ln 2

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