Calcule o comprimento de arco da curva dada a seguir (substitua a e b, respectivamente, pelo menor algarimo ímpar e pelo maior algarismo par da sua matrícula): y=e^{x}, a \leq x \leq b.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o comprimento de arco da curva y=e^{x} no intervalo [a,b], onde a e b representam, respectivamente, o menor algarismo ímpar e o maior algarismo par da sua matrícula (esses valores devem ser substituídos por você depois; aqui vamos manter a e b simbólicos).
Informações dadas: \;y=e^{x} para a\le x\le b.
O que se pede: o comprimento de arco (uma quantidade real positiva) da curva entre x=a e x=b.
Passo 2
Fórmula de comprimento de arco (explicação didática): para uma curva dada por y=f(x), a\le x\le b, o comprimento L é obtido aproximando a curva por pequenos segmentos de reta e usando Pitágoras; no limite isso dá a integral
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}\;dx.
Aqui: f(x)=e^{x}. A variável x é a coordenada horizontal; f'(x) é a derivada de f em x, que representa a inclinação instantânea da curva. O integrando \sqrt{1+(f'(x))^{2}} vem do comprimento do elemento de arco infinitesimal ds=\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx.
Passo 3
Calcule a derivada de f(x)=e^{x}. A regra: a derivada de e^{x} é e^{x} (porque a função exponencial é igual à sua derivada). Assim
f'(x)=e^{x}.
Substituindo na fórmula do comprimento:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+e^{2x}}\;dx.
Passo 4
Para resolver \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+e^{2x}}\;dx fazemos a substituição natural u=e^{x}. Explicação da substituição: e^{x}>0 para todo x, a substituição simplifica a expressão exponencial. Calculamos du=e^{x}dx, logo dx=\dfrac{du}{u}. Os limites se transformam: quando x=a temos u=e^{a}; quando x=b temos u=e^{b}. A integral fica
Para integrar \displaystyle\int \frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u}\,du usamos substituição hiperbólica (útil porque \sqrt{1+u^{2}} sugere identidade hiperbólica). Tome u=\operatorname{sinh} t. Explicação: \operatorname{sinh} t assume todos os valores reais, e \sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\operatorname{cosh} t pela identidade \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1. Com u=\operatorname{sinh} t temos du=\operatorname{cosh} t\,dt e \sqrt{1+u^{2}}=\operatorname{cosh} t. Substituindo:
Simplifique e integre em t. Use \operatorname{cosh}^{2}t=1+\operatorname{sinh}^{2}t, então
\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1+\operatorname{sinh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1}{\operatorname{sinh} t}+\operatorname{sinh} t.
Integramos termo a termo: \displaystyle\int\operatorname{sinh} t\,dt=\operatorname{cosh} t. A integral de \csch t=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} t} é conhecida: