Calcule o comprimento de arco da curva dada a seguir (substitua a e b, respectivamente, pelo menor algarimo ímpar e pelo maior algarismo par da sua matrícula):
y=e^{x}, a \leq x \leq b.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento de arco da curva y=e^{x} no intervalo [a,b], onde a e b representam, respectivamente, o menor algarismo ímpar e o maior algarismo par da sua matrícula (esses valores devem ser substituídos por você depois; aqui vamos manter a e b simbólicos).
Informações dadas:
\;y=e^{x} para a\le x\le b.
O que se pede: o comprimento de arco (uma quantidade real positiva) da curva entre x=a e x=b.

Passo 2

Fórmula de comprimento de arco (explicação didática): para uma curva dada por y=f(x), a\le x\le b, o comprimento L é obtido aproximando a curva por pequenos segmentos de reta e usando Pitágoras; no limite isso dá a integral
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^{2}}\;dx.
Aqui: f(x)=e^{x}. A variável x é a coordenada horizontal; f'(x) é a derivada de f em x, que representa a inclinação instantânea da curva. O integrando \sqrt{1+(f'(x))^{2}} vem do comprimento do elemento de arco infinitesimal ds=\sqrt{1+(dy/dx)^2}\,dx.

Passo 3

Calcule a derivada de f(x)=e^{x}. A regra: a derivada de e^{x} é e^{x} (porque a função exponencial é igual à sua derivada). Assim
f'(x)=e^{x}.
Substituindo na fórmula do comprimento:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+e^{2x}}\;dx.

Passo 4

Para resolver \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+e^{2x}}\;dx fazemos a substituição natural u=e^{x}. Explicação da substituição: e^{x}>0 para todo x, a substituição simplifica a expressão exponencial. Calculamos du=e^{x}dx, logo dx=\dfrac{du}{u}. Os limites se transformam: quando x=a temos u=e^{a}; quando x=b temos u=e^{b}. A integral fica
L=\int_{u=e^{a}}^{u=e^{b}}\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u}\;du.

Passo 5

Para integrar \displaystyle\int \frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u}\,du usamos substituição hiperbólica (útil porque \sqrt{1+u^{2}} sugere identidade hiperbólica). Tome u=\operatorname{sinh} t. Explicação: \operatorname{sinh} t assume todos os valores reais, e \sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\operatorname{cosh} t pela identidade \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1. Com u=\operatorname{sinh} t temos du=\operatorname{cosh} t\,dt e \sqrt{1+u^{2}}=\operatorname{cosh} t. Substituindo:
\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u}\,du=\frac{\operatorname{cosh} t}{\operatorname{sinh} t}\cdot\operatorname{cosh} t\,dt=\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}\,dt.

Passo 6

Simplifique e integre em t. Use \operatorname{cosh}^{2}t=1+\operatorname{sinh}^{2}t, então
\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1+\operatorname{sinh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1}{\operatorname{sinh} t}+\operatorname{sinh} t.
Portanto
\int\frac{\sqrt{1+u^{2}}}{u}\,du=\int\left(\frac{1}{\operatorname{sinh} t}+\operatorname{sinh} t\right)dt.
Integramos termo a termo: \displaystyle\int\operatorname{sinh} t\,dt=\operatorname{cosh} t. A integral de \csch t=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} t} é conhecida:
\int\csch t\,dt=\ln\!\bigl|\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr|+C.
Assim uma primitiva é
\operatorname{cosh} t+\ln\!\bigl|\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\bigr|+C.

Passo 7

Volte para a variável u. Lembrando u=\operatorname{sinh} t e \operatorname{cosh} t=\sqrt{1+u^{2}}. Use a identidade
\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)=\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t+1}=\frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}+1},
válida para as transformações usadas (e como u=e^{x}>0, o valor dentro do log é positivo). Substituindo, obtemos a primitiva em u:
F(u)=\sqrt{1+u^{2}}+\ln\!\left(\frac{u}{\sqrt{1+u^{2}}+1}\right)+C.
Podemos reescrever subtraindo o log para ficar numa forma alternativa mais comum:
F(u)=\sqrt{1+u^{2}}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{1+u^{2}}+1}{u}\right)+C.

Passo 8

Aplique a primitiva nos limites u=e^{a} até u=e^{b}. Em x (voltando de u=e^{x}) a expressão do comprimento fica
L=\left[\sqrt{1+e^{2x}}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{1+e^{2x}}+1}{e^{x}}\right)\right]_{x=a}^{x=b}.
Escrevendo explicitamente a diferença de valores:
L=\sqrt{1+e^{2b}}-\sqrt{1+e^{2a}}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{1+e^{2b}}+1}{e^{b}}\right)+\ln\!\left(\frac{\sqrt{1+e^{2a}}+1}{e^{a}}\right).

Resposta

\sqrt{1+e^{2b}}-\sqrt{1+e^{2a}}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{1+e^{2b}}+1}{e^{b}}\right)+\ln\!\left(\frac{\sqrt{1+e^{2a}}+1}{e^{a}}\right)

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