Calcule o comprimento de arco da curva dada a seguir (substitua
e
, respectivamente, pelo menor algarimo ímpar e pelo maior algarismo par da sua matrícula):
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva
no intervalo
, onde devemos substituir
e
, respectivamente, pelo menor algarismo ímpar e pelo maior algarismo par da sua matrícula.
Como você não forneceu sua matrícula, vou adotar a escolha natural quando se trabalha com algarismos : o menor algarismo ímpar é
e o maior algarismo par é
. Portanto vou calcular o comprimento de arco para o intervalo
.
O que precisamos encontrar é o comprimento da curva para
indo de
a
.
Como você não forneceu sua matrícula, vou adotar a escolha natural quando se trabalha com algarismos
O que precisamos encontrar é o comprimento da curva
Passo 2
Lembrete da fórmula de comprimento de arco (aula rápida): se uma curva é dada por
e
tem derivada contínua, o comprimento de arco entre
e
é
Aqui
. Vou explicar o que cada parte significa:
é a derivada de
em relação a
; a raiz aparece porque estamos calculando a distância infinitesimal ao longo da curva, que vem do teorema de Pitágoras aplicado ao pequeno segmento reto aproximando a curva.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Substituindo na fórmula do comprimento:
Passo 4
Simplificamos a raiz algébrica:
Portanto
Agora precisamos integrar
. Vou escolher uma substituição que torne
simples: a substituição hiperbólica
. Por que? Porque
, e isso costuma linearizar raízes do tipo
.
Passo 5
Fazendo
. Então:
Também precisamos dos limites em
: quando
temos
(ou
); quando
temos
(ou
). Vamos usar símbolos
e
até a substituição final:
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora use a identidade
. Assim
Portanto a integral separa-se:
Passo 7
Integramos termo a termo (aqui uma mini-aula de integrais hiperbólicas):
- A primitiva de
é , porque . - A primitiva de
é
(resultado padrão; pode ser obtido por manipulações com exponenciais). Ou seja,
Assim uma primitiva para o integrando total é
Passo 8
Voltando para
: como
então
. Além disso há uma identidade útil para
em termos de
:
Substituindo, uma primitiva em
é
Podemos reescrever o log para ficar mais elegante:
Passo 9
Agora avaliamos a primitiva entre
e
:
Calcule cada termo:
Para os logaritmos:
Subtraindo,
Juntando os logaritmos em um só:
Passo 10
Podemos também dar uma aproximação numérica rápida para termos uma ideia:
Somando tudo: