Calcule o comprimento de arco da curva dada a seguir (substitua a e b, respectivamente, pelo menor algarimo ímpar e pelo maior algarismo par da sua matrícula):
y=\ln x, a \leq x \leq b.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva y=\ln x no intervalo a\le x\le b, onde devemos substituir a e b, respectivamente, pelo menor algarismo ímpar e pelo maior algarismo par da sua matrícula.
Como você não forneceu sua matrícula, vou adotar a escolha natural quando se trabalha com algarismos 0,1,\dots,9: o menor algarismo ímpar é 1 e o maior algarismo par é 8. Portanto vou calcular o comprimento de arco para o intervalo \;1\le x\le 8.
O que precisamos encontrar é o comprimento da curva y=\ln x para x indo de 1 a 8.

Passo 2

Lembrete da fórmula de comprimento de arco (aula rápida): se uma curva é dada por y=f(x) e f tem derivada contínua, o comprimento de arco entre x=a e x=b é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui f(x)=\ln x. Vou explicar o que cada parte significa: f'(x) é a derivada de y em relação a x; a raiz aparece porque estamos calculando a distância infinitesimal ao longo da curva, que vem do teorema de Pitágoras aplicado ao pequeno segmento reto aproximando a curva.

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
Substituindo na fórmula do comprimento:
L=\int_{1}^{8}\sqrt{1+\left(\frac{1}{x}\right)^{2}}\,dx =\int_{1}^{8}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}\,dx.

Passo 4

Simplificamos a raiz algébrica:
\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=\sqrt{\frac{x^{2}+1}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}.
Portanto
L=\int_{1}^{8}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}\,dx.
Agora precisamos integrar \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}. Vou escolher uma substituição que torne \sqrt{x^{2}+1} simples: a substituição hiperbólica x=\operatorname{sinh} t. Por que? Porque \sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}t+1}=\operatorname{cosh} t, e isso costuma linearizar raízes do tipo \sqrt{x^{2}+1}.

Passo 5

Fazendo x=\operatorname{sinh} t. Então:
dx=\operatorname{cosh} t\,dt,\qquad \sqrt{x^{2}+1}=\operatorname{cosh} t.
Também precisamos dos limites em t: quando x=1 temos t=\operatorname{arsinh}(1) (ou t=\ln(1+\sqrt{2})); quando x=8 temos t=\operatorname{arsinh}(8) (ou t=\ln(8+\sqrt{65})). Vamos usar símbolos t_1 e t_2 até a substituição final:
t_1=\operatorname{arsinh}(1)=\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr),\qquad t_2=\operatorname{arsinh}(8)=\ln\bigl(8+\sqrt{65}\bigr).

Passo 6

Substituindo na integral:
L=\int_{t_1}^{t_2}\frac{\operatorname{cosh} t}{\operatorname{sinh} t}\cdot \operatorname{cosh} t\,dt =\int_{t_1}^{t_2}\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}\,dt.
Agora use a identidade \operatorname{cosh}^{2}t=1+\operatorname{sinh}^{2}t. Assim
\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1+\operatorname{sinh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}=\frac{1}{\operatorname{sinh} t}+\operatorname{sinh} t.
Portanto a integral separa-se:
L=\int_{t_1}^{t_2}\operatorname{sinh} t\,dt+\int_{t_1}^{t_2}\frac{1}{\operatorname{sinh} t}\,dt.

Passo 7

Integramos termo a termo (aqui uma mini-aula de integrais hiperbólicas):
  • A primitiva de \operatorname{sinh} t é \operatorname{cosh} t, porque \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t.
  • A primitiva de \csch t=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} t} é \ln\bigl(\operatorname{tanh}(t/2)\bigr) (resultado padrão; pode ser obtido por manipulações com exponenciais). Ou seja,
\int \frac{1}{\operatorname{sinh} t}\,dt=\ln\bigl(\operatorname{tanh}\frac{t}{2}\bigr)+C.
Assim uma primitiva para o integrando total é
F(t)=\operatorname{cosh} t+\ln\bigl(\operatorname{tanh}\frac{t}{2}\bigr).

Passo 8

Voltando para x: como x=\operatorname{sinh} t então \operatorname{cosh} t=\sqrt{x^{2}+1}. Além disso há uma identidade útil para \operatorname{tanh}(t/2) em termos de x:
\operatorname{tanh}\frac{t}{2}=\frac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t+1}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+1}.
Substituindo, uma primitiva em x é
F(x)=\sqrt{x^{2}+1}+\ln\!\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+1}\right)+C.
Podemos reescrever o log para ficar mais elegante:
F(x)=\sqrt{x^{2}+1}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{x^{2}+1}+1}{x}\right)+C.

Passo 9

Agora avaliamos a primitiva entre 1 e 8:
L=F(8)-F(1).
Calcule cada termo:
\sqrt{8^{2}+1}=\sqrt{65},\qquad \sqrt{1^{2}+1}=\sqrt{2}.
Para os logaritmos:
F(8)=\sqrt{65}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{65}+1}{8}\right),\qquad F(1)=\sqrt{2}-\ln\!\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).
Subtraindo,
L=\sqrt{65}-\sqrt{2}-\ln\!\left(\frac{\sqrt{65}+1}{8}\right)+\ln\!\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).
Juntando os logaritmos em um só:
L=\sqrt{65}-\sqrt{2}+\ln\!\left(\frac{8(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{65}+1}\right).

Passo 10

Podemos também dar uma aproximação numérica rápida para termos uma ideia:
\sqrt{65}\approx 8{,}062257748,\qquad \sqrt{2}\approx 1{,}414213562,
\frac{8(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{65}+1}\approx 2{,}129894\quad\Rightarrow\quad \ln\!\bigl(\cdot\bigr)\approx 0{,}755158.
Somando tudo:
L\approx 6{,}648044186 + 0{,}755158 \approx 7{,}403202.

Resposta

L=\sqrt{65}-\sqrt{2}+\ln\!\left(\frac{8(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{65}+1}\right)
L\approx 7{,}403202

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