(1.25 pontos) Seja
um campo de forças contínuo em
. Sob a açāo da força
uma partícula
de massa
é movida de um ponto
até um ponto
segundo uma função de posiçāo
. Suponha que
é de classe
em
(ou seja,
'tem derivada contínua em
). Faça o que se pede:
(a) Seja
. Pela primeira lei de Newton temos
Conclua disto que
(b) Justifique que
é uma primitiva de
em
.
(a) Seja
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Temos um campo de forças contínuo
. - Uma partícula
de massa move-se de até pela curva parametrizada , com de classe em . - Definimos
para . - A primeira lei de Newton, dada no enunciado, é
O que nos pedem:
(a) Mostrar que
(a) Mostrar que
(b) Justificar que a função
é uma primitiva de
em
(ou seja, mostrar que
).
Passo 2
Lembrete preciso (definição usada): a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada
é definida, quando
é de classe
, por
Explicação rápida e intuitiva: substituímos o diferencial de arco por
e tomamos o produto escalar ponto a ponto, depois integramos no parâmetro
. Isso é apenas a definição padrão da integral de linha de um campo vetorial.
Passo 3
Aplicando a definição do Passo 2 ao nosso caso, escrevemos
Aqui usei que
é
porque é dada
, então a integral de linha está bem definida.
Passo 4
Agora uso a hipótese dada pela primeira lei de Newton
e a definição
. Substituindo essas expressões na integral do Passo 3 obtemos, ponto a ponto em
,
Portanto, integrando em
de
até
,
que é exatamente a igualdade pedida em (a). (Troquei a ordem no produto escalar usando comutatividade:
.)
Passo 5
Agora vamos justificar (b): queremos mostrar que
satisfaz
.
Primeiro, recorde a regra do produto para o produto escalar de vetores: se
e
são funções vetoriais diferenciáveis, então
Essa regra é totalmente análoga à regra do produto para escalares e pode ser provada componente a componente.
Passo 6
Aplicamos a regra do Passo 5 ao caso
. Então
Como o produto escalar é comutativo, os dois termos à direita são iguais, portanto
Passo 7
Dividindo a identidade do Passo 6 por
, obtemos
Ou seja,
para todo
. Como
é contínua e diferenciável (porque
é
),
é
e, portanto,
é uma primitiva de
em
.
Se quiser uma verificação componente a componente: escreva
. Então
e derivando cada termo dá
, que é a mesma coisa.
Resposta
(a)
\n(b)
, logo
é primitiva de
em
.