(1.25 pontos) Seja \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} um campo de forças contínuo em \mathbb{R}^{3}. Sob a açāo da força \vec{F} uma partícula P de massa m é movida de um ponto A até um ponto B segundo uma função de posiçāo \gamma:[a, b] \longrightarrow \mathbf{R}^{3}. Suponha que \gamma é de classe C^{2} em [a, b] (ou seja, \gamma 'tem derivada contínua em [a, b] ). Faça o que se pede:
(a) Seja \vec{v}(t)=\gamma^{\prime}(t), t \in[a, b]. Pela primeira lei de Newton temos
\vec{F}(\gamma(t))=m \frac{d \vec{v}}{d t}, t \in[a, b] .
Conclua disto que
\int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma=m \int_{a}^{b} v \cdot \frac{d \vec{v}}{d t} d t
(b) Justifique que h(t)=\frac{1}{2} \vec{v} \cdot \vec{v} é uma primitiva de v \cdot \frac{d u}{d t} em [a, b].

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Temos um campo de forças contínuo \vec{F}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}.
  • Uma partícula P de massa m move-se de A até B pela curva parametrizada \gamma:[a,b]\to\mathbb{R}^3, com \gamma de classe C^2 em [a,b].
  • Definimos \vec{v}(t)=\gamma'(t) para t\in[a,b].
  • A primeira lei de Newton, dada no enunciado, é
\vec{F}(\gamma(t))=m\frac{d\vec{v}}{dt},\qquad t\in[a,b].
O que nos pedem:
(a) Mostrar que
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma = m\int_{a}^{b}\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}\,dt.
(b) Justificar que a função h(t)=\tfrac{1}{2}\,\vec{v}(t)\cdot\vec{v}(t) é uma primitiva de \vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt} em [a,b] (ou seja, mostrar que h'(t)=\vec{v}(t)\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}).

Passo 2

Lembrete preciso (definição usada): a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada \gamma é definida, quando \gamma é de classe C^{1}, por
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma \;=\; \int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
Explicação rápida e intuitiva: substituímos o diferencial de arco por d\gamma=\gamma'(t)\,dt e tomamos o produto escalar ponto a ponto, depois integramos no parâmetro t. Isso é apenas a definição padrão da integral de linha de um campo vetorial.

Passo 3

Aplicando a definição do Passo 2 ao nosso caso, escrevemos
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma = \int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.
Aqui usei que \gamma é C^1 porque é dada C^2, então a integral de linha está bem definida.

Passo 4

Agora uso a hipótese dada pela primeira lei de Newton \vec{F}(\gamma(t))=m\frac{d\vec{v}}{dt} e a definição \vec{v}(t)=\gamma'(t). Substituindo essas expressões na integral do Passo 3 obtemos, ponto a ponto em t,
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) \;=\; m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}(t).
Portanto, integrando em t de a até b,
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma = \int_{a}^{b} m\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}(t)\,dt = m\int_{a}^{b}\vec{v}(t)\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}\,dt,
que é exatamente a igualdade pedida em (a). (Troquei a ordem no produto escalar usando comutatividade: \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}.)

Passo 5

Agora vamos justificar (b): queremos mostrar que h(t)=\tfrac{1}{2}\,\vec{v}(t)\cdot\vec{v}(t) satisfaz h'(t)=\vec{v}(t)\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}.
Primeiro, recorde a regra do produto para o produto escalar de vetores: se \vec{u}(t) e \vec{w}(t) são funções vetoriais diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\big(\vec{u}(t)\cdot\vec{w}(t)\big) \;=\; \frac{d\vec{u}}{dt}\cdot\vec{w}(t) \;+\; \vec{u}(t)\cdot\frac{d\vec{w}}{dt}.
Essa regra é totalmente análoga à regra do produto para escalares e pode ser provada componente a componente.

Passo 6

Aplicamos a regra do Passo 5 ao caso \vec{u}=\vec{w}=\vec{v}. Então
\frac{d}{dt}\big(\vec{v}(t)\cdot\vec{v}(t)\big) \;=\; \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}(t) \;+\; \vec{v}(t)\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}.
Como o produto escalar é comutativo, os dois termos à direita são iguais, portanto
\frac{d}{dt}\big(\vec{v}\cdot\vec{v}\big) \;=\; 2\,\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}.

Passo 7

Dividindo a identidade do Passo 6 por 2, obtemos
\frac{d}{dt}\left(\tfrac{1}{2}\,\vec{v}(t)\cdot\vec{v}(t)\right) \;=\; \vec{v}(t)\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}.
Ou seja, h'(t)=\vec{v}(t)\cdot\frac{d\vec{v}}{dt} para todo t\in[a,b]. Como \vec{v} é contínua e diferenciável (porque \gamma é C^2), h é C^1 e, portanto, h é uma primitiva de \vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt} em [a,b].
Se quiser uma verificação componente a componente: escreva \vec{v}=(v_1,v_2,v_3). Então \tfrac{1}{2}\vec{v}\cdot\vec{v}=\tfrac{1}{2}(v_1^2+v_2^2+v_3^2) e derivando cada termo dá v_1\dot v_1+v_2\dot v_2+v_3\dot v_3=\vec{v}\cdot\dot{\vec{v}}, que é a mesma coisa.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma = m\int_{a}^{b}\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}\,dt.\n(b) \displaystyle h'(t)=\vec{v}(t)\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}, logo h(t)=\tfrac{1}{2}\vec{v}(t)\cdot\vec{v}(t) é primitiva de \vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt} em [a,b].

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