O enunciado dá a curva y=\ln(x+1) no intervalo 0\le x\le 1 e pede a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo y.
Informações relevantes que tenho do enunciado:
\text{Função: } y=\ln(x+1),\qquad 0\le x\le 1,
\text{Eixo de rotação: eixo }y.
A pergunta é: qual é a área da superfície gerada por essa rotação?
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula correta para este tipo de problema (explicando de onde vem, passo a passo). Se tenho uma curva dada por y=f(x) e giro o arco da curva em torno do eixo y, cada pequeno pedaço de arco de comprimento ds gera uma “fita” cuja área aproximada é a circunferência de raio x multiplicada por ds, isto é 2\pi x\,ds. Integrando ao longo do intervalo obtém-se a área total:
S = 2\pi \int_{a}^{b} x\,ds.
Como ds (elemento de comprimento de arco) para uma função y=f(x) é dado por
Aqui x é a distância do ponto até o eixo y (por isso aparece o fator 2\pi x), e \sqrt{1+(f')^2} converte dx no comprimento de arco ds. Tudo bem até aqui? (Segue a aplicação concreta.)
Passo 3
Calculo a derivada da função, pois preciso de f'(x):
Escrevo a integral da área com os limites x=0 a x=1:
S = 2\pi\int_{0}^{1} \frac{x\sqrt{x^2+2x+2}}{x+1}\,dx.
Para simplificar a integral, faço a substituição mais natural u=x+1. Assim x=u-1, dx=du. Os limites mudam: quando x=0 temos u=1; quando x=1 temos u=2. Substituindo:
S = 2\pi\int_{1}^{2} \frac{(u-1)\sqrt{(u-1)^2+2(u-1)+2}}{u}\,du.
Agora simplifico a expressão dentro da raiz:
(u-1)^2+2(u-1)+2 = u^2+1,
portanto a integral fica
S = 2\pi\int_{1}^{2} \frac{(u-1)\sqrt{u^2+1}}{u}\,du =2\pi\int_{1}^{2}\Bigl(1-\frac{1}{u}\Bigr)\sqrt{u^2+1}\,du.
Expliquei: se (u-1)/u = 1 - 1/u, dá para separar a integral em duas partes mais tratáveis.
Passo 6
Separo a integral em duas:
S = 2\pi\left[\int_{1}^{2}\sqrt{u^2+1}\,du \;-\; \int_{1}^{2}\frac{\sqrt{u^2+1}}{u}\,du\right].
Vou calcular cada uma das integrais antederivando. Vou chamá-las de I_1 e I_2:
Vou usar essa expressão para avaliar I_1 entre 1 e 2 mais adiante.
Passo 8
Agora I_2=\int \dfrac{\sqrt{u^2+1}}{u}\,du. Faço uma substituição prática para essa integral: defina v=\sqrt{u^2+1}. Então v^2=u^2+1, diferenciando obtemos 2v\,dv=2u\,du ou du=\dfrac{v}{u}\,dv. Substituindo na integral:
Para ver o cálculo passo a passo: o termo com \sqrt{5} em u=2 cancelou, e os logaritmos combinaram formando o quociente acima. (Se quiser, dá para multiplicar (2+\sqrt5)(\sqrt5+1)=7+3\sqrt5, fica equivalente.)
Passo 10
Lembro que a área S é 2\pi vezes esse resultado, então:
S = 2\pi\,(I_1-I_2) =2\pi\left[\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\ln\!\Biggl(\frac{(2+\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{2}-1)}\Biggr)\right].
Simplificando o fator 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi obtemos a forma final e mais compacta