Calcule a área de superfície de revolução gerada pela rotação da curva dada a seguir, em torno da reta indicada (RESOLVA O ITEM © E OUTRO DA SUA PREFERENCIA):
y=\ln (x+1), 0 \leq x \leq 1, em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\ln(x+1) no intervalo 0\le x\le 1 e pede a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo y.
Informações relevantes que tenho do enunciado:
\text{Função: } y=\ln(x+1),\qquad 0\le x\le 1,çã
\text{Eixo de rotação: eixo }y.çã
A pergunta é: qual é a área da superfície gerada por essa rotação?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula correta para este tipo de problema (explicando de onde vem, passo a passo). Se tenho uma curva dada por y=f(x) e giro o arco da curva em torno do eixo y, cada pequeno pedaço de arco de comprimento ds gera uma “fita” cuja área aproximada é a circunferência de raio x multiplicada por ds, isto é 2\pi x\,ds. Integrando ao longo do intervalo obtém-se a área total:
S = 2\pi \int_{a}^{b} x\,ds.
Como ds (elemento de comprimento de arco) para uma função y=f(x) é dado por
ds = \sqrt{1+\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2}\,dx,
a fórmula prática que vamos usar é
\boxed{\,S = 2\pi\int_{a}^{b} x\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx\,}
Aqui x é a distância do ponto até o eixo y (por isso aparece o fator 2\pi x), e \sqrt{1+(f')^2} converte dx no comprimento de arco ds. Tudo bem até aqui? (Segue a aplicação concreta.)

Passo 3

Calculo a derivada da função, pois preciso de f'(x):
y=\ln(x+1)\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x+1}.
Expliquei: derivei \ln(x+1) usando a regra da derivada do logaritmo natural. Simples.

Passo 4

Agora monto o integrando \sqrt{1+(f'(x))^2} e simplifico algebricamente:
\sqrt{1+\Bigl(\frac{1}{x+1}\Bigr)^2} =\sqrt{1+\frac{1}{(x+1)^2}} =\sqrt{\frac{(x+1)^2+1}{(x+1)^2}} =\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{x+1}.
Então o integrando x\sqrt{1+(f')^2} vira
x\cdot\frac{\sqrt{x^2+2x+2}}{x+1}.

Passo 5

Escrevo a integral da área com os limites x=0 a x=1:
S = 2\pi\int_{0}^{1} \frac{x\sqrt{x^2+2x+2}}{x+1}\,dx.
Para simplificar a integral, faço a substituição mais natural u=x+1. Assim x=u-1, dx=du. Os limites mudam: quando x=0 temos u=1; quando x=1 temos u=2. Substituindo:
S = 2\pi\int_{1}^{2} \frac{(u-1)\sqrt{(u-1)^2+2(u-1)+2}}{u}\,du.
Agora simplifico a expressão dentro da raiz:
(u-1)^2+2(u-1)+2 = u^2+1,
portanto a integral fica
S = 2\pi\int_{1}^{2} \frac{(u-1)\sqrt{u^2+1}}{u}\,du =2\pi\int_{1}^{2}\Bigl(1-\frac{1}{u}\Bigr)\sqrt{u^2+1}\,du.
Expliquei: se (u-1)/u = 1 - 1/u, dá para separar a integral em duas partes mais tratáveis.

Passo 6

Separo a integral em duas:
S = 2\pi\left[\int_{1}^{2}\sqrt{u^2+1}\,du \;-\; \int_{1}^{2}\frac{\sqrt{u^2+1}}{u}\,du\right].
Vou calcular cada uma das integrais antederivando. Vou chamá-las de I_1 e I_2:
I_1=\int \sqrt{u^2+1}\,du,\qquad I_2=\int \frac{\sqrt{u^2+1}}{u}\,du.

Passo 7

Antiderivada de I_1=\int \sqrt{u^2+1}\,du. Esta é uma integral padrão; a fórmula (que posso demonstrar separadamente) é
\int \sqrt{u^2+a^2}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+a^2}\bigr)+C.
Aqui a=1, então
\boxed{\,\int \sqrt{u^2+1}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^2+1}+\frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+1}\bigr)+C\,.}
Vou usar essa expressão para avaliar I_1 entre 1 e 2 mais adiante.

Passo 8

Agora I_2=\int \dfrac{\sqrt{u^2+1}}{u}\,du. Faço uma substituição prática para essa integral: defina v=\sqrt{u^2+1}. Então v^2=u^2+1, diferenciando obtemos 2v\,dv=2u\,du ou du=\dfrac{v}{u}\,dv. Substituindo na integral:
\frac{\sqrt{u^2+1}}{u}\,du = \frac{v}{u}\cdot\frac{v}{u}\,dv = \frac{v^2}{u^2}\,dv.
Mas u^2=v^2-1, então
I_2 = \int \frac{v^2}{v^2-1}\,dv.
Agora note que \dfrac{v^2}{v^2-1}=1+\dfrac{1}{v^2-1}. Assim
I_2 = \int 1\,dv + \int \frac{1}{v^2-1}\,dv = v + \frac{1}{2}\ln\Bigl|\frac{v-1}{v+1}\Bigr| + C.
Voltando a u (ou seja v=\sqrt{u^2+1}) obtenho a antiderivada explícita:
\boxed{\,\int \frac{\sqrt{u^2+1}}{u}\,du = \sqrt{u^2+1}+\frac{1}{2}\ln\Bigl(\frac{\sqrt{u^2+1}-1}{\sqrt{u^2+1}+1}\Bigr)+C\,.}
Expliquei cada manipulação: substituição e decomposição em frações simples.

Passo 9

Agora avalio a diferença I_1-I_2 entre os limites u=1 e u=2. Usando as antiderivadas:
Para I_1 tenho a primitiva
F_1(u)=\frac{u}{2}\sqrt{u^2+1}+\frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+1}\bigr).
Para I_2 tenho a primitiva
F_2(u)=\sqrt{u^2+1}+\frac{1}{2}\ln\Bigl(\frac{\sqrt{u^2+1}-1}{\sqrt{u^2+1}+1}\Bigr).
Então para a combinação I_1-I_2 a primitiva é F_1(u)-F_2(u). Simplifico essa expressão antes de avaliar:
F_1(u)-F_2(u)=\Bigl(\frac{u}{2}-1\Bigr)\sqrt{u^2+1}+\frac{1}{2}\ln\!\Bigl((u+\sqrt{u^2+1})\frac{\sqrt{u^2+1}+1}{\sqrt{u^2+1}-1}\Bigr).
Agora avalio em u=2 e u=1.
  • Para u=2: \sqrt{2^2+1}=\sqrt{5}. O coeficiente \frac{u}{2}-1 vale \frac{2}{2}-1=0, então o termo com raiz some. O termo logarítmico fica
\frac{1}{2}\ln\!\Bigl((2+\sqrt{5})\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}\Bigr).
  • Para u=1: \sqrt{1^2+1=\!2}=\sqrt{2}. O primeiro termo é
\Bigl(\frac{1}{2}-1\Bigr)\sqrt{2}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}.
O termo logarítmico fica
\frac{1}{2}\ln\!\Bigl((1+\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\Bigr) =\frac{1}{2}\ln\!\Bigl(\frac{(1+\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}-1}\Bigr) =\frac{1}{2}\ln\!\Bigl(\frac{3+2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\Bigr).
Subtraindo (valor em 2 menos valor em 1) dá
I_1-I_2=\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\ln\!\Biggl(\frac{(2+\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{2}-1)}\Biggr).
Para ver o cálculo passo a passo: o termo com \sqrt{5} em u=2 cancelou, e os logaritmos combinaram formando o quociente acima. (Se quiser, dá para multiplicar (2+\sqrt5)(\sqrt5+1)=7+3\sqrt5, fica equivalente.)

Passo 10

Lembro que a área S é 2\pi vezes esse resultado, então:
S = 2\pi\,(I_1-I_2) =2\pi\left[\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\ln\!\Biggl(\frac{(2+\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{2}-1)}\Biggr)\right].
Simplificando o fator 2\pi\cdot\frac{1}{2}=\pi obtemos a forma final e mais compacta
\boxed{\,S=\pi\sqrt{2}+\pi\ln\!\Biggl(\frac{(2+\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{2}-1)}\Biggr)\,.}
Se preferir uma versão com menos parênteses note que (2+\sqrt5)(\sqrt5+1)=7+3\sqrt5, então outra forma equivalente é
S=\pi\sqrt{2}+\pi\ln\!\Biggl(\frac{7+3\sqrt{5}}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{2}-1)}\Biggr).

Resposta

S=\pi\sqrt{2}+\pi\ln\!\Biggl(\frac{(2+\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{2}-1)}\Biggr)

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