Calcule o comprimento do arco da curva dado nos exercícios abaixo, fazendo um esboço do arco e indicando com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
lx=cos ^2 t y=sen^2 t do ponto (0,1) ao ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=cos^2 t, y=sen^2 t
e pede o comprimento do arco desde o ponto (0,1) até (1,0).
Conteúdo: usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas
L=integralt1^t2raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt
Precisamos achar os valores de t que geram (0,1) e (1,0) e, a seguir, calcular essa integral.

Passo 2

Encontrar os parâmetros:
Para (0,1) temos
cos^2 t=0, sen^2 t=1
que ocorre em t=tfracpi2 (tomamos o menor valor em [0,2pi)).
Para (1,0) temos
cos^2 t=1, sen^2 t=0
que ocorre em t=pi.
Portanto, o arco é percorrido quando t aumenta de tfracpi2 até pi.

Passo 3

Calcular as derivadas:
x'(t)=ddtl(cos^2 tr)=-2cos t,sen t=-sen(2t),
y'(t)=ddtl(sen^2 tr)=2sen t,cos t=sen(2t)
Logo
l(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2 =sin^2(2t)+sin^2(2t)=2,sin^2(2t)
O comprimento de arco vira
L=integralpi/2^piraiz2,sin^2(2t),dt =raiz2integralpi/2^pil|sin(2t)r|,dt

Passo 4

No intervalo tin[tfracpi2,pi] temos 2tin[pi,2pi], onde sin(2t)<=0. Assim lvertsin(2t)rvert=-sin(2t) e
L=raiz2integralpi/2^pil(-sin(2t)r),dt =raiz2[12cos(2t)]t=pi/2^t=pi =raiz22l(cos(2pi)-cos(pi)r)
Como cos(2pi)=1 e cos(pi)=-1, isso dá
L=raiz22(1-(-1))=raiz2

Passo 5

Observação geométrica: como cos^2t+sen^2t=1, o ponto percorre o segmento de reta x+y=1 em [0,1]^2. Quando t vai de tfracpi2 a pi, a curva sai de (0,1), passa por (tfrac12,tfrac12) e chega em (1,0). A seta de direção aponta nesse sentido, de cima para a direita.

Resposta

O comprimento do arco é raiz2.

Exercícios relacionados