Calcule o comprimento do arco da curva dado nos exercícios abaixo, fazendo um esboço do arco e indicando com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. do ponto ao ponto .
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede o comprimento do arco desde o ponto até .
Conteúdo: usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas
Precisamos achar os valores de que geram e e, a seguir, calcular essa integral.
Passo 2
Encontrar os parâmetros:
Para temos
que ocorre em (tomamos o menor valor em ).
Para temos
que ocorre em .
Portanto, o arco é percorrido quando aumenta de até .
Passo 3
Calcular as derivadas:
Logo
O comprimento de arco vira
Passo 4
No intervalo tin[tfracpi2,pi] temos 2tin[pi,2pi], onde sin(2t)<=0. Assim lvertsin(2t)rvert=-sin(2t) e
Observação geométrica: como cos^2t+sen^2t=1, o ponto percorre o segmento de reta x+y=1 em [0,1]^2. Quando t vai de tfracpi2 a pi, a curva sai de (0,1), passa por (tfrac12,tfrac12) e chega em (1,0). A seta de direção aponta nesse sentido, de cima para a direita.