Calcule:
Perímetro da cardióide: r=3-3 cos (theta), a>0.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento total (perímetro) da cardioide dada em coordenadas polares por
r(theta)=3-3cos(theta), 0<=theta<=2pi
Aqui o conteúdo é comprimento de curva em coordenadas polares, que usamos a fórmula
L=integral0^2piraizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Calculamos primeiro a derivada de r:
r'(theta)=ddthetal(3-3costhetar)=3sintheta
Então o integrando fica
raizr^2+(r')^2 =raizl(3-3costhetar)^2+(3sintheta)^2

Passo 3

Simplificando o integrando:
l(3-3costhetar)^2+(3sintheta)^2 =9l(1-2costheta+cos^2theta+sin^2thetar) =9l(2-2costhetar) =18l(1-costhetar)
Como 1-costheta=2sin^2(theta/2), temos
raiz18,(1-costheta) =raiz36sin^2!l(tfractheta2r) =6l|sin!l(tfractheta2r)r|
Em 0<=theta<=2pi, sin(theta/2)>=0, então o integrando é
6sin!l(tfractheta2r)

Passo 4

O comprimento total é
L=integral0^2pi6sin!l(tfractheta2r),dtheta =6cdotl[-2cos!l(tfractheta2r)r]0^2pi =-12l(cospi-cos0r) =-12l(-1-1r) =24

Resposta

O perímetro da cardioide é 24.

Exercícios relacionados