Considere a curva espacial (espiral) parametrizada por \gamma(t)=\left(e^{-t} \cos t, e^{-t} \operatorname{sen} t, e^{-t}\right), t \in \mathbb{R}.
(a) Calcule o comprimento de arco entre \gamma(0) e \gamma(t), para t>0.
(b) Mostre que o comprimento do arco entre \gamma(0) e \gamma(t) tem um limite finito quando t \rightarrow+\infty.
e pede (a) o comprimento de arco de \gamma entre t=0 e t, e (b) mostrar que, quando t\to+\infty, esse comprimento tende a um valor finito. Para isso vamos usar a fórmula do comprimento de arco em \mathbb{R}^3:
L(0,t)=\int_{0}^{t}\bigl\|\gamma'(u)\bigr\|\,du.
Passo 2
Calcular as componentes de \gamma'(t). Como \gamma_1(t)=e^{-t}\cos t, \gamma_2(t)=e^{-t}\sin t e \gamma_3(t)=e^{-t}, temos