Considere a curva espacial (espiral) parametrizada por \gamma(t)=\left(e^{-t} \cos t, e^{-t} \operatorname{sen} t, e^{-t}\right), t \in \mathbb{R}.
(a) Calcule o comprimento de arco entre \gamma(0) e \gamma(t), para t>0.
(b) Mostre que o comprimento do arco entre \gamma(0) e \gamma(t) tem um limite finito quando t \rightarrow+\infty.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\gamma(t)=\bigl(e^{-t}\cos t,\;e^{-t}\sin t,\;e^{-t}\bigr), \quad t\in\mathbb{R},
e pede (a) o comprimento de arco de \gamma entre t=0 e t, e (b) mostrar que, quando t\to+\infty, esse comprimento tende a um valor finito. Para isso vamos usar a fórmula do comprimento de arco em \mathbb{R}^3:
L(0,t)=\int_{0}^{t}\bigl\|\gamma'(u)\bigr\|\,du.

Passo 2

Calcular as componentes de \gamma'(t). Como \gamma_1(t)=e^{-t}\cos t, \gamma_2(t)=e^{-t}\sin t e \gamma_3(t)=e^{-t}, temos
\gamma_1'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\cos t\bigr) =e^{-t}(-\cos t-\sin t),
\gamma_2'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\sin t\bigr) =e^{-t}(-\sin t+\cos t),
\gamma_3'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\bigr) =-\,e^{-t}.

Passo 3

Calcular a norma \|\gamma'(t)\|.
\|\gamma'(t)\|^2 =e^{-2t}\Bigl[(-\cos t-\sin t)^2+(-\sin t+\cos t)^2+1\Bigr].
Expandindo,
(-\cos t-\sin t)^2=1+\sin2t, \quad (-\sin t+\cos t)^2=1-\sin2t,
logo a soma é 1+\sin2t+1-\sin2t+1=3. Portanto
\|\gamma'(t)\| =\sqrt{e^{-2t}\cdot3} =\sqrt{3}\,e^{-t}.

Passo 4

Integrar para achar o comprimento de arco de 0 a t:
L(0,t) =\int_{0}^{t}\sqrt{3}\,e^{-u}\,du =\sqrt{3}\,\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{t} =\sqrt{3}\,\bigl(1-e^{-t}\bigr).

Passo 5

Analisar o limite quando t\to+\infty:
\lim_{t\to+\infty}L(0,t) =\lim_{t\to+\infty}\sqrt{3}\,\bigl(1-e^{-t}\bigr) =\sqrt{3}\,(1-0) =\sqrt{3},
que é finito.

Resposta

(a) L(0,t)=\sqrt{3}\,\bigl(1-e^{-t}\bigr).
(b) \displaystyle\lim_{t\to+\infty}L(0,t)=\sqrt{3}, que é finito.

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