Calcule o comprimento do arco da curva
, dada na forma paramétrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma curva definida de forma paramétrica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e integrais. Vamos precisar descobrir as derivadas das funções que definem a curva e depois integrar uma expressão que envolve essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções paramétricas que definem a curva:
Aqui, $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.
Passo 3
Para encontrar o comprimento do arco, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
Vamos precisar calcular as derivadas $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
]
Sabemos que $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $, então:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Como $ \sin \left(\frac{t}{2}\right) $ é não negativo no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Passo 8
Integrando:
Resposta
O comprimento do arco da curva é 24 unidades.