Calcule o comprimento do arco da curva lx=3(t-sen t) y=3(1-cos t), t in[0,2pi], dada na forma paramétrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco de uma curva definida de forma paramétrica. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas e integrais. Vamos precisar descobrir as derivadas das funções que definem a curva e depois integrar uma expressão que envolve essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções paramétricas que definem a curva:
x(t) = 3(t - sin t)
y(t) = 3(1 - cos t)
Aqui, $ t $ varia de $ 0 $ a $ 2\pi $.

Passo 3

Para encontrar o comprimento do arco, usamos a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas:
S = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Vamos precisar calcular as derivadas $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = 3(1 - cos t)
dydt = 3 sin t

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
S = integral0^2pi raiz[3(1 - cos t)]^2 + [3 sin t]^2 , dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
[3(1 - cos t)]^2 + [3 sin t]^2 = 9(1 - 2cos t + cos^2 t) + 9 sin^2 t
= 9(1 - 2cos t + cos^2 t + sin^2 t)
]
Sabemos que $ \cos^2 t + \sin^2 t = 1 $, então:
cos^2 t + sin^2 t = 1
= 9(1 - 2cos t + 1)
= 9(2 - 2cos t)

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
S = integral0^2pi raiz18(1 - cos t) , dt = raiz18 integral0^2pi raiz1 - cos t , dt
= 3raiz2 integral0^2pi raiz2 sin^2 (t2) , dt
= 3raiz2 cdot raiz2 integral0^2pi |sin (t2)| , dt
Como $ \sin \left(\frac{t}{2}\right) $ é não negativo no intervalo de $ 0 $ a $ 2\pi $:
sin (t2)

Passo 8

Integrando:
6 integral0^2pi sin (t2) , dt = 6 [ -2 cos (t2) ]0^2pi
= -12 [ cos pi - cos 0 ] = -12 [ -1 - 1 ] = -12 (-2) = 24

Resposta

O comprimento do arco da curva é 24 unidades.

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