Calcule o comprimento de arco da curva. x=cos (t) e y=sen(t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o comprimento de arco da curva definida por e para . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para parametrizações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por L = integrala^b raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt e :
Aqui, e são as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
dxdt = ddt [cos(t)] = -sin(t)
dydt = ddt [sin(t)] = cos(t)

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^2pi raiz(-sin(t))^2 + (cos(t))^2 , dt

Passo 5

Simplificamos dentro da raiz:
(-sin(t))^2 = sin^2(t)
(cos(t))^2 = cos^2(t)
Então:
L = integral0^2pi raizsin^2(t) + cos^2(t) , dt

Passo 6

Conhecemos uma identidade trigonométrica importante:
sin^2(t) + cos^2(t) = 1
Portanto:
L = integral0^2pi raiz1 , dt = integral0^2pi 1 , dt

Passo 7

Integrando:
L = [ t ]0^2pi = 2pi - 0 = 2pi

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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