Calcule o comprimento de arco da curva.
e
Passo 1
Beleza! Vamos calcular o comprimento de arco da curva definida por
e
para
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de curvas paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para parametrizações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
e
:
Aqui,
e
são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Simplificamos dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Conhecemos uma identidade trigonométrica importante:
Portanto:
Passo 7
Integrando:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.