Questão:(2.0 pontos) Determine o volume do sólido
interior à esfera
e inferior ao cone
.
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido W limitado pela esfera x{2}+y{2}+z^{2}=1 e pela superfície do cone z=\sqrt{x{2}+y{2}}. O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para converter a região e calcular um integral triplo.
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos as definições x=ρ\sin(φ)\cos(θ), y=ρ\sin(φ)\sin(θ), z=ρ\cos(φ) e o elemento de volume dV=ρ^{2}\sin(φ),dρ,dφ,dθ. A esfera vira ρ=1. O cone z=\sqrt{x{2}+y{2}} dá ρ\cos(φ)=ρ\sin(φ), ou seja tan(φ)=1 ⇒ φ=π/4.
Passo 3
Para determinar os limites de φ note que “inferior ao cone” significa z≤r, isto é φ≥π/4. Como queremos todo o interior da esfera, ρ varia de 0 a 1, θ de 0 a 2π, e φ de π/4 até π (incluindo região com z negativo). Montamos então o integral
Passo 4
Calculamos o integral em ρ que é simples:
. Em θ temos
. Restando
Passo 5
Integramos em φ:
. Assim