Questão:(2.0 pontos) Determine o volume do sólido W interior à esfera x^2+y^2+z^2=1 e inferior ao cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido W limitado pela esfera x{2}+y{2}+z^{2}=1 e pela superfície do cone z=\sqrt{x{2}+y{2}}. O conteúdo principal aqui é usar coordenadas esféricas para converter a região e calcular um integral triplo.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as definições x=ρ\sin(φ)\cos(θ), y=ρ\sin(φ)\sin(θ), z=ρ\cos(φ) e o elemento de volume dV=ρ^{2}\sin(φ),dρ,dφ,dθ. A esfera vira ρ=1. O cone z=\sqrt{x{2}+y{2}} dá ρ\cos(φ)=ρ\sin(φ), ou seja tan(φ)=1 ⇒ φ=π/4.

Passo 3

Para determinar os limites de φ note que “inferior ao cone” significa z≤r, isto é φ≥π/4. Como queremos todo o interior da esfera, ρ varia de 0 a 1, θ de 0 a 2π, e φ de π/4 até π (incluindo região com z negativo). Montamos então o integral
V=integralθ=0^2πintegralφ=π/4^πintegralρ=0^1ρ^2sin(φ),dρ,dφ,dθ

Passo 4

Calculamos o integral em ρ que é simples: integral0^1ρ^2dρ=1/3. Em θ temos integral0^2πdθ=2π. Restando
V=2π3integralφ=π/4^πsin(φ),dφ

Passo 5

Integramos em φ: integralsin(φ)dφ=-cos(φ). Assim
V=2π3l[-cos(φ)r]π/4^π=2π3l(-cos(π)+cos(π/4)r)=2π3l(1+tfracraiz22r)

Resposta

V=π3,(2+raiz2)

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