Calcule as seguintes integrais usando a tabela e, em seguida, derive seus resultados para conferir as respostas:
e) integral(raizx+1)(x-raizx+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral(raizx+1)(x-raizx+1),dx
utilizando a tabela de integrais e depois verificar o resultado pela derivação. Aqui vamos usar manipulação de radicais (transformar raizx em x^1/2) e a regra de potência para integração, que na tabela aparece como
integral x^n,dx = x^n+1n+1 + C ,
para n neq -1.

Passo 2

Substituímos raizx por x^1/2 e expandimos o produto:
(raizx+1)(x-raizx+1) = (x^1/2+1)(x - x^1/2 +1) = x^1/2cdot x - x^1/2cdot x^1/2 + x^1/2cdot1 + 1cdot x - 1cdot x^1/2 + 1cdot1 = x^3/2 - x + x^1/2 + x - x^1/2 +1 = x^3/2 +1
Portanto a integral original reduz-se a
integral(x^3/2 + 1),dx

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência em cada termo separadamente:
integral x^3/2,dx = x^5/25/2 = 25x^5/2, integral 1,dx = x

Passo 4

Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
25x^5/2 + x + C

Passo 5

Para conferir, derivamos o resultado sem +C:
ddxl(25x^5/2 + xr) = 25cdot 52x^3/2 + 1 = x^3/2 +1, que coincide com o integrando simplificado x^3/2+1.

Resposta

25x^5/2 + x + C

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