Questão: (2.0 pontos) Considere a função:
.
a) Determine a taxa de variação de
no ponto
na direção e sentido do vetor
.
b) Qual a taxa de variação máxima em P ?
c) Determine o vetor unitário na direção e sentido em que
cresce mais rapidamente em
.
d) Determine o vetor unitário na direção e sentido em que
decresce mais rapidamente em
.
a) Determine a taxa de variação de
b) Qual a taxa de variação máxima em P ?
c) Determine o vetor unitário na direção e sentido em que
d) Determine o vetor unitário na direção e sentido em que
Passo 1
O enunciado pede para a função f(x,y,z)=ln(x²+y²+z²) no ponto P=(1,2,3) calcular: a taxa de variação na direção do vetor (1,−1,−1), a taxa de variação máxima em P, o vetor unitário de crescimento mais rápido e o vetor unitário de decrescimento mais rápido. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Para começar, calculamos o gradiente de f. Como f(x,y,z)=ln(u) com u=x²+y²+z², temos ∇f = (1/u)·∇u = (1/(x²+y²+z²))(2x,2y,2z). No ponto P=(1,2,3), u=1²+2²+3²=14, logo
Passo 3
Para a parte (a), a derivada direcional em direção ao vetor v=(1,−1,−1) usa o vetor unitário u=v/|v| com |v|=√3. Assim u=(1,−1,−1)/√3 e
Passo 4
Na parte (b), a taxa de variação máxima em P é o módulo do gradiente:
Passo 5
Para ©, o vetor unitário na direção de crescimento mais rápido é o gradiente normalizado:
Passo 6
Finalmente, em (d) o vetor unitário de decrescimento mais rápido é o oposto desse:
Resposta
a) -4/(7√3)
b) √14/7
c) (1,2,3)/√14
d) (-1,-2,-3)/√14
b) √14/7
c) (1,2,3)/√14
d) (-1,-2,-3)/√14