Questão: (2.0 pontos) Considere a função: f(x, y, z)=ln (x^2+y^2+z^2).
a) Determine a taxa de variação de f no ponto P=(1,2,3) na direção e sentido do vetor (1,-1,-1).
b) Qual a taxa de variação máxima em P ?
c) Determine o vetor unitário na direção e sentido em que f cresce mais rapidamente em P.
d) Determine o vetor unitário na direção e sentido em que f decresce mais rapidamente em P.

Passo 1

O enunciado pede para a função f(x,y,z)=ln(x²+y²+z²) no ponto P=(1,2,3) calcular: a taxa de variação na direção do vetor (1,−1,−1), a taxa de variação máxima em P, o vetor unitário de crescimento mais rápido e o vetor unitário de decrescimento mais rápido. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para começar, calculamos o gradiente de f. Como f(x,y,z)=ln(u) com u=x²+y²+z², temos ∇f = (1/u)·∇u = (1/(x²+y²+z²))(2x,2y,2z). No ponto P=(1,2,3), u=1²+2²+3²=14, logo
∇f(P)=114(2,4,6)=(tfrac17,tfrac27,tfrac37)

Passo 3

Para a parte (a), a derivada direcional em direção ao vetor v=(1,−1,−1) usa o vetor unitário u=v/|v| com |v|=√3. Assim u=(1,−1,−1)/√3 e
Duf(P)=∇f(P)cdot u=l(tfrac17,tfrac27,tfrac37r)cdottfrac(1,-1,-1)raiz3=1-2-37raiz3=-47raiz3

Passo 4

Na parte (b), a taxa de variação máxima em P é o módulo do gradiente:
|∇f(P)|=raiz(tfrac17)^2+(tfrac27)^2+(tfrac37)^2=raiz1+4+97=raiz147

Passo 5

Para ©, o vetor unitário na direção de crescimento mais rápido é o gradiente normalizado:
∇f(P)|∇f(P)|=(1/7,2/7,3/7)raiz14/7=(1,2,3)raiz14

Passo 6

Finalmente, em (d) o vetor unitário de decrescimento mais rápido é o oposto desse:
-(1,2,3)raiz14

Resposta

a) -4/(7√3)
b) √14/7
c) (1,2,3)/√14
d) (-1,-2,-3)/√14

Exercícios relacionados