Calcule o comprimento do arco da curva y=f(x) dadas abaixo:
y=3 x4-1, com 0 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva y=f(x) definida por
y = 3x4 - 1
no intervalo 0 <= x <= 2. O conteúdo principal aqui é a fórmula do comprimento de arco de uma função y=f(x):
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Como
f(x) = 3x4 - 1,
temos
f'(x) = 34

Passo 3

Substituímos f'(x) na fórmula de comprimento de arco:
L = integral0^2 raiz1 + l(34r)^2,dx = integral0^2 raiz1 + 916,dx = integral0^2 raiz2516,dx = integral0^2 54,dx = 54,l[,xr]0^2 = 54cdot 2 = 52

Passo 4

Como checagem rápida, note que a curva é uma reta de (0,-1) até (2,0,5). A distância entre esses pontos é
raiz(2-0)^2 + (0,5 - (-1))^2 = raiz4 + 1,5^2 = raiz4 + 2,25 = raiz6,25 = 2,5 = 52,
confirmando o resultado.

Resposta

L = 52

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