Calcule o volume dos sólidos obtidos ao rotacionar, em torno do eixo e do eixo , os conjuntos dados abaixo: é o conjunto dos pontos tais que e .
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto
e pede o volume dos sólidos obtidos ao rotacionar em torno dos eixos e . Vamos usar o método dos discos (ou anéis) para rotação em torno de e o método das cascas cilíndricas para rotação em torno de .
Passo 2
Para a rotação em torno do eixo , em cada temos um disco de raio igual a e raio interno zero. A área da secção transversal é
Portanto, o volume é
Vx = integral1^3 pi x^2,dx = pi [x^33]1^3 = pigl(273-13gr) = 26pi3
Passo 3
Para a rotação em torno do eixo y, usamos cascas cilíndricas. Em cada xin[1,3] há uma casca de raio x, altura igual a ymax(x)=x e espessura dx. O volume de cada casca é
2pi times (raio)times(a<ura),dx = 2pi,xcdot x,dx = 2pi x^2,dx