Calcule o volume dos sólidos obtidos ao rotacionar, em torno do eixo x e do eixo y, os conjuntos A dados abaixo:
A é o conjunto dos pontos (x, y) tais que 1 <= x <= 3 e 0 <= y <= x.

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto
A = (x,y)mid 1 <= x <= 3,;0 <= y <= x
e pede o volume dos sólidos obtidos ao rotacionar A em torno dos eixos x e y. Vamos usar o método dos discos (ou anéis) para rotação em torno de x e o método das cascas cilíndricas para rotação em torno de y.

Passo 2

Para a rotação em torno do eixo x, em cada xin[1,3] temos um disco de raio igual a ymax(x)=x e raio interno zero. A área da secção transversal é
pil(underbracexraior)^2 ;=;pi x^2
Portanto, o volume é
Vx = integral1^3 pi x^2,dx = pi [x^33]1^3 = pigl(273-13gr) = 26pi3

Passo 3

Para a rotação em torno do eixo y, usamos cascas cilíndricas. Em cada xin[1,3] há uma casca de raio x, altura igual a ymax(x)=x e espessura dx. O volume de cada casca é
2pi times (raio)times(a<ura),dx = 2pi,xcdot x,dx = 2pi x^2,dx
Logo,
Vy = integral1^3 2pi x^2,dx = 2pi [x^33]1^3 = 2pigl(273-13gr) = 52pi3

Resposta

Volume ao rotacionar em torno de x: 26pi3
Volume ao rotacionar em torno de y: 52pi3

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