Calcule o volume dos sólidos obtidos ao rotacionar, em torno do eixo x e do eixo y, os conjuntos A dados abaixo:
A é o conjunto dos pontos (x, y) tais x^2+y^2 <= 1, y >= 0 e -1 <= x <= 1.

Passo 1

O conjunto A é a meia-lâmina circular
A=(x,y)mid x^2+y^2<=1,;y>=0,;-1<= x<=1
Vamos girar A em torno do eixo x e do eixo y. Para volume de sólidos de revolução usaremos o método dos discos (ou anéis) e, quando for conveniente, identificação geométrica (esfera, hemisfera).

Passo 2

Revolução de A em torno do eixo x.
Para cada xin[-1,1], o trecho vertical de A vai de y=0 até y=raiz1-x^2. Girando em torno de x, gera-se um disco de raio R(x)=raiz1-x^2 e espessura dx.
O elemento de volume é
dVx=pil(R(x)r)^2,dx =pil(raiz1-x^2r)^2,dx =pi,(1-x^2),dx
Integrando de -1 a 1,
Vx=integral-1^1pi,(1-x^2),dx =pil[x-tfracx^33r]-1^1 =pil[l(1-tfrac13r)-l(-1+tfrac13r)r] =4pi3
Geometricamente, é exatamente o volume de uma esfera de raio 1:
Vx=tfrac4pi3,

Passo 3

Revolução de A em torno do eixo y.
Para cada yin[0,1], a seção horizontal de A é o segmento
-,raiz1-y^2<= x<=raiz1-y^2
Girar esse segmento em torno de y produz um disco de raio
R(y)=max|x|=raiz1-y^2,
logo área pi(1-y^2) e elemento de volume
dVy=pi,(1-y^2),dy
Integrando de 0 a 1,
Vy=integral0^1pi,(1-y^2),dy =pil[y-tfracy^33r]0^1 =pil(1-tfrac13r) =2pi3
Geom. é o volume da hemisfera de raio 1: tfrac12cdottfrac4pi3=tfrac2pi3

Resposta

V ao girar em torno de x: 4pi3
V ao girar em torno de y: 2pi3

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