Calcule o volume dos sólidos obtidos ao rotacionar, em torno do eixo
e do eixo
, os conjuntos
dados abaixo:
é o conjunto dos pontos
tais
e
.
Passo 1
O conjunto
é a meia-lâmina circular
Vamos girar
em torno do eixo
e do eixo
. Para volume de sólidos de revolução usaremos o método dos discos (ou anéis) e, quando for conveniente, identificação geométrica (esfera, hemisfera).
Passo 2
Revolução de
em torno do eixo
.
Para cada , o trecho vertical de
vai de
até
. Girando em torno de
, gera-se um disco de raio
e espessura
.
O elemento de volume é
Para cada
O elemento de volume é
Integrando de
a
,
Geometricamente, é exatamente o volume de uma esfera de raio
:
Passo 3
Revolução de
em torno do eixo
.
Para cada , a seção horizontal de
é o segmento
Para cada
Girar esse segmento em torno de
produz um disco de raio
logo área
e elemento de volume
Integrando de
a
,
Geom. é o volume da hemisfera de raio
: