Calcule o comprimento de arco das curvas
y=23 x^23, 0 <= x <= 1;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
y = tfrac23,x^2/3, 0 <= x <= 1,
usando a fórmula do comprimento de arco
L = integral0^1 raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx
Vamos precisar derivar y, montar o integrando raiz1+(y')^2 e resolver a integral, possivelmente por substituição.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y(x) = tfrac23,x^2/3 Longrightarrow y'(x) = tfrac23cdottfrac23,x^-1/3 = tfrac49,x^-1/3
Então
1 + l(y'(x)r)^2 = 1 + 1681,x^-2/3 = 81,x^2/3 + 1681,x^2/3,
e
raiz1 + (y')^2 = raiz81,x^2/3 + 169,x^1/3

Passo 3

O comprimento de arco fica
L = integral0^1 raiz81,x^2/3 + 169,x^1/3;dx = 19integral0^1 raiz81,x^2/3 + 16x^1/3;dx
Para eliminar as raízes, fazemos a substituição
t = x^1/3, x = t^3, dx = 3,t^2,dt,
com t indo de 0 a 1. Note que x^2/3=t^2 e x^1/3=t.

Passo 4

Sob essa troca, o integrando vira
raiz81,t^2+16tcdot 3,t^2,dt = 3,t,raiz81,t^2+16;dt,
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L = 19integral0^13,t,raiz81,t^2+16;dt = 13integral0^1t,raiz81,t^2+16;dt
Para resolver integral traiz81t^2+16,dt, fazemos u = 81t^2+16, de modo que du = 162,t,dt, isto é, t,dt = tfracdu162. Assim
integral t,raiz81t^2+16;dt = integral raizu,du162 = 1162,23,u^3/2 = 1243,u^3/2

Passo 5

Voltando a t e avaliando de 0 a 1:
integral0^1t,raiz81t^2+16;dt = 1243l[(81cdot1^2+16)^3/2 - (16)^3/2r] = 1243l[97^3/2 - 64r]
Multiplicando pelo fator tfrac13 que tínhamos fora da integral, obtemos
L = 13cdot1243l[97^3/2-64r] = 97raiz97-64729

Resposta

L = 97raiz97 - 64729

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