Exercício 6. (D. 6, ex.2.7) Seja F a transformada de Fourier. Mostre que:
F(f(-x))(xi)=F(f)(-xi).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de reflexão da transformada de Fourier, ou seja, provar que
Fl(f(-x)r)(xi) ;=;F(f)(-,xi)
Vamos usar a definição usual da transformada de Fourier e uma mudança de variável em integral imprópria.

Passo 2

Pela definição (com fator 2pi no expoente), temos
Fl(f(-x)r)(xi) =integral-infty^infty f(-x),e^-2pi i,x,xi,dx

Passo 3

Façamos a mudança de variável
u = -x, du = -,dx
Quando x vai de -infty a +infty, u vai de +infty a -infty. Logo,
integral-infty^infty f(-x),e^-2pi i,x,xi,dx =integral+infty^-infty f(u),e^-2pi i,(-u),xi,(-du)
O sinal “ -” de du inverte os limites de integração:

Passo 4

integral+infty^-infty f(u),e^2pi i,u,xi,(-du) =integral-infty^infty f(u),e^2pi i,u,xi,du =integral-infty^infty f(u),e^-2pi i,u,(-xi),du
Mas essa última integral é exatamente F(f) avaliada em -xi.

Resposta

Fl(f(-x)r)(xi)=F(f)(-,xi)

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