Exercício 6. (D. 6, ex.2.7) Seja
a transformada de Fourier. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a propriedade de reflexão da transformada de Fourier, ou seja, provar que
Vamos usar a definição usual da transformada de Fourier e uma mudança de variável em integral imprópria.
Passo 2
Pela definição (com fator
no expoente), temos
Passo 3
Façamos a mudança de variável
Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Logo,
O sinal “
” de
inverte os limites de integração:
Passo 4
Mas essa última integral é exatamente
avaliada em
.