Questão 6 (1,5 pontos)
Considere um sistema massa mola com coeficiente de elasticidade
definido pelo PVI
(a) Determine o valor de
para que a massa realize um movimento com amortecimento crítico (duas raizes iguais).
(b) Qual a condição sobre
para que a massa passe pela posição de equilíbrio?
Considere um sistema massa mola com coeficiente de elasticidade
(b) Qual a condição sobre
Passo 1
O enunciado dá o PVI de um sistema massa-mola amortecido
e pede (a) o valor de
para amortecimento crítico (raízes iguais) e (b) a condição em
para que
atinja zero (posição de equilíbrio).
Passo 2
Formamos a equação característica supondo
:
Para amortecimento crítico as duas raízes devem coincidir, isto é, o discriminante deve ser nulo:
Passo 3
Com
a raiz dupla é
, e a solução geral é
Usando
vem
. Para achar
calculamos
logo em
:
Passo 4
Queremos que exista
tal que
. Como
para todo
, basta
Para que
precisamos
(satisfeito pois
) e
Resposta
(a)
(b) A massa passa pela posição de equilíbrio se, e somente se, .
(b) A massa passa pela posição de equilíbrio se, e somente se,