Questão 6 (1,5 pontos)
Considere um sistema massa mola com coeficiente de elasticidade k definido pelo PVI
l x^prime prime+x^prime+k x=0 x(0)=a<0, x^prime(0)=b
(a) Determine o valor de k para que a massa realize um movimento com amortecimento crítico (duas raizes iguais).
(b) Qual a condição sobre b para que a massa passe pela posição de equilíbrio?

Passo 1

O enunciado dá o PVI de um sistema massa-mola amortecido
x'' + x' + k,x = 0, x(0)=a<0, x'(0)=b,
e pede (a) o valor de k para amortecimento crítico (raízes iguais) e (b) a condição em b para que x(t) atinja zero (posição de equilíbrio).

Passo 2

Formamos a equação característica supondo x(t)=e^r t:
r^2 + r + k = 0
Para amortecimento crítico as duas raízes devem coincidir, isto é, o discriminante deve ser nulo:
De<a = 1 - 4k = 0 Longrightarrow k = tfrac14

Passo 3

Com k=tfrac14 a raiz dupla é r=-tfrac12, e a solução geral é
x(t) = l(C1 + C2,tr)e^-t/2
Usando x(0)=a vem C1=a. Para achar C2 calculamos
x'(t) = l[C2 - tfrac12(C1 + C2,t)r]e^-t/2,
logo em t=0:
x'(0)=C2 - tfrac12,C1 = b Longrightarrow C2 = b + tfraca2

Passo 4

Queremos que exista t>0 tal que x(t)=0. Como e^-t/2>0 para todo t, basta
C1 + C2,t = 0 Longrightarrow t = -C1C2 = -a,b + tfraca2,
Para que t>0 precisamos -a>0 (satisfeito pois a<0) e
b + tfraca2 > 0 Longrightarrow b > -tfraca2

Resposta

(a) k = tfrac14
(b) A massa passa pela posição de equilíbrio se, e somente se, b > -tfraca2.

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