Calcule:
lim x +infty(cos 2x)^x^2

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(costfrac2xr)^x^2
Como para xto+infty temos tfrac2xto0, o termo interno cos(2/x) tende a 1 e a forma é do tipo (1+pequeno)^grande. Vamos usar o logaritmo para transformar em um limite exponencial.

Passo 2

Defina
L = limxto+inftyl(costfrac2xr)^x^2
Então
ln L = limxto+inftyx^2,ln!l(costfrac2xr)
Para avaliar esse limite, usamos a expansão em série para cos u quando uto0:
cos u = 1 - u^22 + o(u^2)
Dessa forma,
ln(cos u) = ln!l(1 - u^22 + o(u^2)r) = -u^22 + o(u^2)

Passo 3

No nosso caso u = tfrac2x. Logo,
ln!l(costfrac2xr) = -12l(tfrac2xr)^2 + o!l(tfrac1x^2r) = -2x^2 + o!l(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x^2, obtemos
x^2,ln!l(costfrac2xr) = -2 + o(1),
logo
ln L = -2

Passo 4

Exponenciando, concluímos
L = e^-2

Resposta

e^-2

Exercícios relacionados