Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado. © f(x)=(x+1)^3 / 2+2,3 <= x <= 8

Passo 1

Temos a função f(x) = (x+1)^{3/2} + 2 definida no intervalo [3,8] e queremos o comprimento de arco do seu gráfico. O conteúdo envolve “comprimento de arco de curva” e vamos precisar usar a fórmula
L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Começamos calculando a derivada de f. Como f(x) = (x+1)^{3/2} + 2, aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = 32(x+1)^1/2

Passo 3

Agora substituímos na fórmula de comprimento de arco. Primeiro, o quadrado da derivada é
l(f'(x)r)^2 = l(32(x+1)^1/2r)^2 = 94(x+1)
Logo,
L = integral3^8 raiz1 + 94(x+1),dx
Simplificando dentro da raiz:
1 + 94(x+1) = 9(x+1) + 44 = 9x + 134,
e portanto
L = integral3^8 12raiz9x + 13,dx = 12integral3^8 raiz9x + 13,dx

Passo 4

Para calcular integral raiz9x+13,dx, fazemos a substituição
u = 9x + 13, du = 9,dx implies dx = du9
Quando x = 3, u = 40; quando x = 8, u = 85. Logo,
L = 12 integralu=40^u=85 raizu cdot du9 = 118 integral40^85 u^1/2 ,du

Passo 5

Agora encontramos a primitiva de u^1/2:
integral u^1/2 ,du = u^3/23/2 = 23u^3/2
Então
L = 118 cdot 23l[u^3/2r]40^85 = 127l[85^3/2 - 40^3/2r]

Passo 6

Por fim, escrevendo 85^3/2 = 85raiz85 e 40^3/2 = 40raiz40 = 80raiz10, temos
L = 127l(85raiz85 - 80raiz10r)

Resposta

L = 85raiz85 - 80raiz1027.

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