Calcule o comprimento de arco do gráfico de cada função no intervalo indicado. ©
Passo 1
Temos a função f(x) = (x+1)^{3/2} + 2 definida no intervalo [3,8] e queremos o comprimento de arco do seu gráfico. O conteúdo envolve “comprimento de arco de curva” e vamos precisar usar a fórmula
Passo 2
Começamos calculando a derivada de f. Como f(x) = (x+1)^{3/2} + 2, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora substituímos na fórmula de comprimento de arco. Primeiro, o quadrado da derivada é
Logo,
Simplificando dentro da raiz:
e portanto
Passo 4
Para calcular
, fazemos a substituição
Quando x = 3, u = 40; quando x = 8, u = 85. Logo,
Passo 5
Agora encontramos a primitiva de
:
Então
Passo 6
Por fim, escrevendo
e
, temos