Resolva as inequações seguintes, em R.
|x^2-3 x-4| <= 6

Passo 1

O problema pede para resolver em R a inequação com valor absoluto |x^2-3x-4| <= 6. O conteúdo aqui é inequação com valor absoluto e vamos precisar usar a definição equivalente que transforma |f(x)| <= a em uma dupla desigualdade.

Passo 2

Para lidar com o valor absoluto, escrevemos
-6 <= x^2 - 3x - 4 <= 6
Isso equivale a resolver simultaneamente:
  1. x^2 - 3x - 4 <= 6
  2. x^2 - 3x - 4 >= -6

Passo 3

Começamos pela primeira parte. Subtraindo 6 de ambos os lados, temos
x^2 - 3x - 10 <= 0
É uma inequação quadrática cujo discriminante é De, com raízes
x = 3 pm 72,
o que dá x = 5 e x = -2. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a desigualdade <= 0 vale em
-2 <= x <= 5

Passo 4

Agora a segunda parte. Somando 6 a ambos os lados, fica
x^2 - 3x + 2 >= 0
O discriminante é De, com raízes
x = 3 pm 12,
o que dá x = 1 e x = 2. De novo a parábola abre para cima, então >= 0 vale fora do intervalo das raízes, isto é,
x <= 1 ou x >= 2

Passo 5

Para satisfazer as duas condições ao mesmo tempo, fazemos a interseção dos conjuntos
[-2,5] cap (-infty,1] = [-2,1]
e
[-2,5] cap [2,infty) = [2,5]
Logo, a solução geral da inequação original é a união desses intervalos.
Conferindo os extremos: em x=-2,1,2,5 temos exatamente |x^2-3x-4|=6, então eles pertencem à solução. Tudo coerente!

Resposta

x \in [-2,1],\cup,[2,5]

Exercícios relacionados