Calcule e justifique.
lim x 0^+ x+sen(x)x^2-sen^2(x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0^+x+sin(x)x^2-sin^2(x). Isso é um problema de limites envolvendo forma indeterminada 0/0, e vamos precisar usar séries de Taylor (expansões em potências de x) para resolver.

Passo 2

Primeiro, ao substituir x=0 temos 0+sin(0)=0 no numerador e 0^2-sin^2(0)=0 no denominador. Logo, estamos em uma indeterminação do tipo 0/0, e o método de Taylor é apropriado.

Passo 3

Usando a série de Taylor de sin(x) ao redor de zero até a ordem 5, temos
sin(x)=x-x^36+O(x^5)
Então:
x+sin(x)=2x-x^36+O(x^5),
x^2-sin^2(x)=x^2-l(x-x^36+O(x^5)r)^2 =x^2-l(x^2-tfracx^43+O(x^6)r) =x^43+O(x^6)

Passo 4

Dividindo essas expansões, obtemos
x+sin(x)x^2-sin^2(x) =2x-tfracx^36+O(x^5)tfracx^43+O(x^6) =2xl(1-tfracx^212+O(x^4)r)tfracx^43l(1+O(x^2)r) =2cdot3x^3l(1+O(x^2)r) =6x^3+Ol(tfrac1xr)

Passo 5

Como xto0^+, o termo dominante é 6/x^3, que cresce sem limite. Além disso, o denominador permanece positivo (pois x^2>sin^2(x) para x>0), então a fração tende a +infty. Confira que não há troca de sinal nem cancelamento suficiente para convergir a um valor finito.

Resposta

O limite diverge para +∞.

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