Calcule e justifique.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
. Isso é um problema de limites envolvendo forma indeterminada 0/0, e vamos precisar usar séries de Taylor (expansões em potências de
) para resolver.
Passo 2
Primeiro, ao substituir
temos
no numerador e
no denominador. Logo, estamos em uma indeterminação do tipo
, e o método de Taylor é apropriado.
Passo 3
Usando a série de Taylor de
ao redor de zero até a ordem 5, temos
Então:
Passo 4
Dividindo essas expansões, obtemos
Passo 5
Como
, o termo dominante é
, que cresce sem limite. Além disso, o denominador permanece positivo (pois
para
), então a fração tende a
. Confira que não há troca de sinal nem cancelamento suficiente para convergir a um valor finito.
Resposta
O limite diverge para +∞.