Calcule o comprimento do arco indicado.
y = x^3/12 + 1/x, 1 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de um arco da função no intervalo de até . Isso está relacionado ao cálculo de comprimento de arco na matéria de Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função entre e . A fórmula é:
Essa fórmula nos diz que o comprimento do arco é a integral, de a , da raiz quadrada de mais o quadrado da derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função em relação a . A função dada é:
Calculando a derivada :

Passo 4

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:

Passo 5

Vamos somar 1 ao quadrado da derivada:

Passo 6

Agora, colocamos tudo na fórmula do comprimento do arco e configuramos a integral:

Passo 7

Para resolver essa integral, podemos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que:
Isso porque:

Passo 8

Então, a integral fica mais simples:
Como está entre 1 e 2, a expressão dentro do valor absoluto é positiva, então podemos remover as barras:

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Para :
Para :

Passo 10

Aplicando os limites de integração de 1 a 2:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O comprimento do arco indicado é unidades.

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