Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de um arco da função no intervalo de até . Isso está relacionado ao cálculo de comprimento de arco na matéria de Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função entre e . A fórmula é:
Essa fórmula nos diz que o comprimento do arco é a integral, de a , da raiz quadrada de mais o quadrado da derivada de em relação a .
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função em relação a . A função dada é:
Calculando a derivada :
Passo 4
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Passo 5
Vamos somar 1 ao quadrado da derivada:
Passo 6
Agora, colocamos tudo na fórmula do comprimento do arco e configuramos a integral:
Passo 7
Para resolver essa integral, podemos simplificar a expressão dentro da raiz. Observe que:
Isso porque:
Passo 8
Então, a integral fica mais simples:
Como está entre 1 e 2, a expressão dentro do valor absoluto é positiva, então podemos remover as barras: