Calcule as integrais abaixo
integral 1x^2-6 x+5 d x

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente vai resolver a integral . Isso está dentro do cálculo integral, especificamente lidando com integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) . Isso significa encontrar dois números que multiplicados dão 5 e somados dão -6. Esses números são -1 e -5. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos reescrever a integral usando frações parciais. Queremos encontrar constantes 1(x - 1)(x - 5) = Ax - 1 + Bx - 5 e 1 = A(x - 5) + B(x - 1) tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Para encontrar 1 = A(5 - 5) + B(5 - 1) Rightarrow 1 = 0 + 4B Rightarrow B = 14 e 1 = A(1 - 5) + B(1 - 1) Rightarrow 1 = -4A + 0 Rightarrow A = -14 , vamos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, colocando :
Agora, colocando :

Passo 5

Agora que encontramos integral 1x^2 - 6x + 5 , dx = integral ( -14x - 1 + 14x - 5 ) dx e = -14 integral 1x - 1 , dx + 14 integral 1x - 5 , dx , podemos reescrever a integral:
Simplificando:

Passo 6

Agora, sabemos que = -14 ln|x - 1| + 14 ln|x - 5| + C . Aplicando isso:
= 14 ( ln|x - 5| - ln|x - 1| ) + C
Podemos fatorar = 14 ln | x - 5x - 1 | + C :
Usando a propriedade dos logaritmos :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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