Considere uma função f: IR
IR diferenciável em todo o seu domínio, com
. Se
, então, pelo Teorema do Valor Médio, o valor máximo de
é igual a:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é diferenciável em todo o seu domínio. Sabemos que a derivada dessa função,
, é sempre menor ou igual a
para qualquer
real. Além disso, sabemos que
. Queremos, usando o Teorema do Valor Médio, encontrar o valor máximo de
.
Nesse problema, vamos precisar usar o Teorema do Valor Médio, que conecta a derivada de uma função com a variação da própria função entre dois pontos.
Passo 2
Vamos relembrar o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função é contínua no intervalo
e diferenciável no intervalo
, então existe pelo menos um ponto
em
onde:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Aplicando o Teorema do Valor Médio aos pontos
e
, temos que existe um
entre 1 e 3 tal que:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 4
Sabemos também que
para todo
. Em particular, para
entre 1 e 3:
Substituindo na equação do Passo 3:
Passo 5
Para encontrar o valor máximo de
, queremos maximizar o lado direito da desigualdade. Como
está entre 1 e 3, o valor máximo que
pode assumir é 3. Então:
Passo 6
Resolvendo a desigualdade para
:
Resposta
O valor máximo de
é igual a 7.
Opção correta:
c) 7