Considere uma função f: IR p = m . g . h IR diferenciável em todo o seu domínio, com f'(x) <= x, para todo x em R. Se f(1) = 1, então, pelo Teorema do Valor Médio, o valor máximo de f(3) é igual a:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável em todo o seu domínio. Sabemos que a derivada dessa função, , é sempre menor ou igual a para qualquer real. Além disso, sabemos que . Queremos, usando o Teorema do Valor Médio, encontrar o valor máximo de .
Nesse problema, vamos precisar usar o Teorema do Valor Médio, que conecta a derivada de uma função com a variação da própria função entre dois pontos.

Passo 2

Vamos relembrar o Teorema do Valor Médio. Ele diz que se uma função é contínua no intervalo e diferenciável no intervalo , então existe pelo menos um ponto em onde:
No nosso caso, e .

Passo 3

Aplicando o Teorema do Valor Médio aos pontos e , temos que existe um entre 1 e 3 tal que:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 4

Sabemos também que para todo . Em particular, para entre 1 e 3:
Substituindo na equação do Passo 3:

Passo 5

Para encontrar o valor máximo de , queremos maximizar o lado direito da desigualdade. Como está entre 1 e 3, o valor máximo que pode assumir é 3. Então:

Passo 6

Resolvendo a desigualdade para :

Resposta

O valor máximo de é igual a 7.

Opção correta:

c) 7

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