Determine os intervalos onde cada função composta
seja contínua.
l)
e
;
l)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função composta
é contínua. Aqui, temos duas funções:
e
. Vamos usar os conceitos de continuidade de funções e composição de funções para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função composta
. Isso significa que vamos aplicar a função
primeiro e depois a função
no resultado de
. Ou seja:
Então, substituindo
:
Passo 3
Para que
seja contínua, ambas as funções
e
precisam ser contínuas nos intervalos considerados, e a saída de
precisa estar dentro do domínio de
.
Passo 4
Vamos analisar a função
. A raiz cúbica está definida para todos os números reais e é contínua em todo o seu domínio, ou seja, para todo
.
Passo 5
Agora, vamos ver a função
. A raiz quadrada está definida quando o conteúdo dentro dela é maior ou igual a zero:
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 6
Na função composta
, temos
. Para que essa expressão seja válida, o argumento da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
Elevando ambos os lados ao cubo (já que a raiz cúbica é crescente), obtemos:
Passo 7
Como
é contínua para todo
e
é contínua para
, a função composta
será contínua quando
.
Resposta
A função composta
é contínua no intervalo
, ou seja, para todos os números reais
tais que
.