Determine os intervalos onde cada função composta f(g) seja contínua.
l) f(x) = raiz(x + 1) e g(x) = raiz_cubica(x);

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os intervalos onde a função composta é contínua. Aqui, temos duas funções: e . Vamos usar os conceitos de continuidade de funções e composição de funções para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função composta . Isso significa que vamos aplicar a função primeiro e depois a função no resultado de . Ou seja:
Então, substituindo :

Passo 3

Para que seja contínua, ambas as funções e precisam ser contínuas nos intervalos considerados, e a saída de precisa estar dentro do domínio de .

Passo 4

Vamos analisar a função . A raiz cúbica está definida para todos os números reais e é contínua em todo o seu domínio, ou seja, para todo .

Passo 5

Agora, vamos ver a função . A raiz quadrada está definida quando o conteúdo dentro dela é maior ou igual a zero:
Portanto, o domínio de é .

Passo 6

Na função composta , temos . Para que essa expressão seja válida, o argumento da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero:
Elevando ambos os lados ao cubo (já que a raiz cúbica é crescente), obtemos:

Passo 7

Como é contínua para todo e é contínua para , a função composta será contínua quando .

Resposta

A função composta é contínua no intervalo , ou seja, para todos os números reais tais que .

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