Calcule o comprimento do arco da parábola
, contido entre as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento do arco da parábola $ y = x^{2} $ entre as retas $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de curvas. Precisamos entender como aplicar a fórmula de comprimento de arco e fazer a integral necessária.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ y = x^{2} $. Vamos encontrar a derivada dessa função:
Agora, substituímos essa derivada na fórmula do comprimento do arco:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos notar que a função $ \sqrt{1 + 4x^{2}} $ é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo $ y $. Isso significa que podemos calcular o dobro da integral de $ 0 $ a $ 1 $ para facilitar os cálculos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral $ \int \sqrt{1 + 4x^{2}} , dx $. Para isso, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
onde $ \sinh t $ é a função seno hiperbólico. Com essa substituição, simplificamos a integral para uma forma mais fácil de integrar.
Passo 6
Realizando a substituição e os cálculos necessários, obtemos:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 1 $:
Sabemos que $ \sinh^{-1}(0) = 0 $, então simplificamos:
Resposta
O comprimento do arco da parábola $ y = x^{2} $ entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $ é $ \sqrt{5} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(2) $ unidades.