Calcule o comprimento do arco da parábola y=x^2, contido entre as retas x=-1 e x=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o comprimento do arco da parábola $ y = x^{2} $ entre as retas $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre comprimento de arco de curvas. Precisamos entender como aplicar a fórmula de comprimento de arco e fazer a integral necessária.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
y = f(x)
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

No nosso caso, a função é $ y = x^{2} $. Vamos encontrar a derivada dessa função:
y = x^2
Agora, substituímos essa derivada na fórmula do comprimento do arco:
dydx = 2x

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos notar que a função $ \sqrt{1 + 4x^{2}} $ é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo $ y $. Isso significa que podemos calcular o dobro da integral de $ 0 $ a $ 1 $ para facilitar os cálculos:
raiz1 + 4x^2

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral $ \int \sqrt{1 + 4x^{2}} , dx $. Para isso, usamos uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
integral raiz1 + 4x^2 , dx
onde $ \sinh t $ é a função seno hiperbólico. Com essa substituição, simplificamos a integral para uma forma mais fácil de integrar.

Passo 6

Realizando a substituição e os cálculos necessários, obtemos:
integral raiz1 + 4x^2 , dx = x2 raiz1 + 4x^2 + 14 sinh^-1(2x) + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando os limites de $ 0 $ a $ 1 $:
0
Sabemos que $ \sinh^{-1}(0) = 0 $, então simplificamos:
1

Resposta

O comprimento do arco da parábola $ y = x^{2} $ entre $ x = -1 $ e $ x = 1 $ é $ \sqrt{5} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(2) $ unidades.

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