Exercício 1. Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-y d x+x d y=0
F(x, y)=y / x^4

Passo 1

O exercício pede pra resolver a EDO -y,dx + x,dy = 0, testar se é exata e, caso não seja, usar fator integrante ou outro método. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais exatas e separáveis.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=-y e N(x,y)=x de modo que a EDO fica M,dx + N,dy=0. Para testar exatidão, calculamos
partial Mpartial y = -1,
e
partial Npartial x = 1
Como -1 neq 1, a EDO não é exata.

Passo 3

Observando que a EDO pode ser reescrita como
x,dy = y,dx Longrightarrow dydx = yx,
vemos que ela é separável. Então escrevemos
dyy = dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral 1x,dx
resultando em
ln|y| = ln|x| + C

Passo 5

Aplicando exponenciação e definindo K = e^C, ficamos com
lnl|yxr| = C Longrightarrow yx = K
ou seja
y = Kx

Resposta

y = Cx

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