Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que estudar a convergência da integral imprópria:
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar integrais que possuem limites infinitos e saber aplicar critérios para determinar se elas convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. Uma integral é chamada de imprópria quando pelo menos um dos seus limites de integração é infinito ou quando a função a ser integrada não é definida em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é infinito, então precisamos analisar o comportamento da função à medida que $ x $ cresce sem limite.
Passo 3
A próxima etapa é tentar calcular a integral definida de uma função semelhante, com um limite superior finito, e depois ver o que acontece quando esse limite tende ao infinito. Vamos considerar a integral:
onde $ b $ é um número grande que tende a infinito.
Passo 4
Para resolver essa integral, usamos a regra de potência para integração. A integral de $ x^{n} $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, desde que $ n \neq -1 $. No nosso caso, temos $ n = -7 $, então:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a $ b $:
Passo 6
Para estudar a convergência, vamos analisar o que acontece quando $ b $ tende a infinito:
Passo 7
Como o limite existe e é um número finito, concluímos que a integral imprópria converge.
Resposta
A integral imprópria $ \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{7}} $ converge e seu valor é $ \frac{1}{6} $.