Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
integral1^infty d xx^7

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que estudar a convergência da integral imprópria:
integral1^infty dxx^7
Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e testes de convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender como avaliar integrais que possuem limites infinitos e saber aplicar critérios para determinar se elas convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. Uma integral é chamada de imprópria quando pelo menos um dos seus limites de integração é infinito ou quando a função a ser integrada não é definida em algum ponto do intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é infinito, então precisamos analisar o comportamento da função à medida que $ x $ cresce sem limite.

Passo 3

A próxima etapa é tentar calcular a integral definida de uma função semelhante, com um limite superior finito, e depois ver o que acontece quando esse limite tende ao infinito. Vamos considerar a integral:
integral1^b dxx^7
onde $ b $ é um número grande que tende a infinito.

Passo 4

Para resolver essa integral, usamos a regra de potência para integração. A integral de $ x^{n} $ é $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $, desde que $ n \neq -1 $. No nosso caso, temos $ n = -7 $, então:
x^n

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a $ b $:
b

Passo 6

Para estudar a convergência, vamos analisar o que acontece quando $ b $ tende a infinito:
b

Passo 7

Como o limite existe e é um número finito, concluímos que a integral imprópria converge.

Resposta

A integral imprópria $ \int_{1}^{\infty} \frac{dx}{x^{7}} $ converge e seu valor é $ \frac{1}{6} $.

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