integral x^5x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^5x^2+1 , dx. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais (razão de polinômios). Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial e a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dividindo o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. Isso é chamado de divisão polinomial. Queremos dividir x^5 por x^2 + 1.

Passo 3

Vamos fazer a divisão:
x^5x^2 + 1 = x^3 - x + xx^2 + 1
Explicação: Dividindo x^5 por x^2, obtemos x^3. Multiplicando x^3 por x^2 + 1, temos x^5 + x^3. Subtraindo isso de x^5, resta -x^3. Repetimos o processo dividindo -x^3 por x^2, que dá -x. Multiplicando -x por x^2 + 1, obtemos -x^3 - x. Subtraindo novamente, sobra x. Assim, a divisão completa resulta em x^3 - x + xx^2 + 1.

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral usando o resultado da divisão:
integral x^5x^2+1 , dx = integral ( x^3 - x + xx^2 + 1 ) dx
Explicação: A integral da soma é a soma das integrais, então podemos separar a expressão em três partes para facilitar o cálculo.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral x^3 , dx
  2. - integral x , dx
  3. integral xx^2 + 1 , dx

Passo 6

Integrando o primeiro termo:
integral x^3 , dx = x^44 + C
Explicação: Usamos a regra de potência para integrais: integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, onde n neq -1.

Passo 7

Integrando o segundo termo:
- integral x , dx = -x^22 + C
Explicação: Novamente, aplicamos a regra de potência com n = 1.

Passo 8

Integrando o terceiro termo:
integral xx^2 + 1 , dx
Aqui, vamos usar uma substituição. Vamos chamar o denominador de u:
u = x^2 + 1 dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Então, substituímos na integral:
integral xx^2 + 1 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C
Voltando para x:
12 ln|x^2 + 1| + C

Passo 9

Agora, somamos todas as integrais:
x^44 - x^22 + 12 ln(x^2 + 1) + C

Resposta

A integral integral x^5x^2+1 , dx é igual a:
x^44 - x^22 + 12 ln(x^2 + 1) + C

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