Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais (razão de polinômios). Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial e a substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dividindo o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. Isso é chamado de divisão polinomial. Queremos dividir
por
.
Passo 3
Vamos fazer a divisão:
Explicação: Dividindo
por
, obtemos
. Multiplicando
por
, temos
. Subtraindo isso de
, resta
. Repetimos o processo dividindo
por
, que dá
. Multiplicando
por
, obtemos
. Subtraindo novamente, sobra
. Assim, a divisão completa resulta em
.
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral usando o resultado da divisão:
Explicação: A integral da soma é a soma das integrais, então podemos separar a expressão em três partes para facilitar o cálculo.
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 6
Integrando o primeiro termo:
Explicação: Usamos a regra de potência para integrais:
, onde
.
Passo 7
Integrando o segundo termo:
Explicação: Novamente, aplicamos a regra de potência com
.
Passo 8
Integrando o terceiro termo:
Aqui, vamos usar uma substituição. Vamos chamar o denominador de
:
Então, substituímos na integral:
Voltando para
:
Passo 9
Agora, somamos todas as integrais:
Resposta
A integral
é igual a: