Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas.
6a) y=x^3, 0 <= x <= 2.
6b) gamma(t)=(a cos ^3 t, a sen^3 t), 0 <= t <= 2 pi.
6c) gamma(t)=(e^t cos t, e^t sent), 0 <= t <= pi2.
6d) gamma(t)=(13 t^3-t, t^2), 0 <= t <= 2.
6e) gamma(t)=(sen 3 t, cos 3 t, 2 t^32), 0 <= t <= 1.
6f) gamma(t)=(log t, 2 t, t^2), 1 <= t <= e.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco de várias curvas, algumas dadas por uma função y=f(x) e outras por parametrizações γ(t). Para curvas y=f(x) usamos a fórmula L=integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2,dx e para curvas paramétricas γ(t) em [t0,t1] usamos L=integralt0^t1l|gamma'(t)r|,dt. Vamos precisar derivar a função ou cada componente da parametrização e calcular a norma do vetor derivada.

Passo 2

6a) Para y=x³ em [0,2], derivamos f’(x)=3x² e portanto
L6a=integral0^2raiz1+(3x^2)^2,dx=integral0^2raiz1+9x^4,dx

Passo 3

6b) Para γ(t)=(a\cos3t,a\sin3t), 0≤t≤2π, calculamos
γ’(t)=(-3a\cos^2t\sin t,;3a\sin^2t\cos t),
norma
|gamma'(t)|=3a|sin tcos t|,
pela simetria em [0,2π]
L6b=integral0^2pi3a|sin tcos t|,dt=6a

Passo 4

6c) Para γ(t)=(e^t\cos t,e^t\sin t), 0≤t≤π/2, temos
γ’
γ'(t)=e^t(cos t-sin t,;sin t+cos t)
norma2
|γ'(t)|=raiz2,e^t,
e assim
L6c=integral0^pi/2raiz2,e^t,dt=raiz2l(e^pi/2-1r)

Passo 5

6d) Para γ(t)=((t3/3)-t,t2), 0≤t≤2, derivamos
γ’(t)=(t2-1,2t),\quad|γ’(t)|=\sqrt{(t2-1)2+4t2}=t^2+1,
Logo
L6d=integral0^2(t^2+1),dt=l[tfract^33+tr]0^2=tfrac143

Passo 6

6e) Para γ(t)=(\sin3t,\cos3t,2t^{3/2}), 0≤t≤1, temos
γ’(t)=(3\cos3t,-3\sin3t,3t^{1/2}),\quad|γ’(t)|=3\sqrt{1+t},
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L6e=integral0^1 3raiz1+t,dt=2l(2^3/2-1r)=4raiz2-2

Passo 7

6f) Para γ(t)=(\ln t,2t,t^2), 1≤t≤e, derivamos
γ’(t)=(1/t,2,2t),\quad|γ’(t)|=\sqrt{1/t2+4+4t2}=2t+1/t,
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L6f=integral1^el(2t+tfrac1tr),dt=l[t^2+ln tr]1^e=e^2

Resposta

6a) L=integral0^2raiz1+9x^4,dx
6b) 6a
6c) raiz2,(e^pi/2-1)
6d) 14/3
6e) 4raiz2-2
6f) e^2

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