Determine as equações cartesianas das curvas abaixo dadas em coordenadas polares e faça um esboço.
9a) C: r cos (theta-pi / 3)=2.
9b) C: r=23-cos theta.
9c) C: r=1+sen 2 theta.
9d) C: r=2 sen^2(theta2).

Passo 1

O objetivo é transformar as quatro curvas dadas em coordenadas polares em suas equações cartesianas e depois esboçar cada uma. Vamos usar a relação básica entre polares e cartesianas: x = r,costheta, y = r,sintheta, e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Para a curva 9a) temos r,cos(theta-pi/3)=2. Aplicando a fórmula de cosseno da diferença:
cos(theta-pi/3)=costhetacostfracpi3+sinthetasintfracpi3=tfrac12costheta+tfracraiz32sintheta
Então
rl(tfrac12costheta+tfracraiz32sinthetar)=2
Substituindo rcostheta=x e rsintheta=y obtemos
tfrac12 x+tfracraiz32y=2
Multiplicando por 2:
x+raiz3,y=4
É a equação de uma reta. O esboço é uma linha com coeficiente angular -1/raiz3 e intercepto em y=4/raiz3.

Passo 3

Para a curva 9b) r=tfrac23-costheta. Multiplicando:
r(3-costheta)=2
Fica
3r - rcostheta =2
Como rcostheta=x e r=raizx^2+y^2,
3raizx^2+y^2-x=2
Isolando e elevando ao quadrado:
3raizx^2+y^2=x+2
9(x^2+y^2)=(x+2)^2
Logo
9x^2+9y^2=x^2+4x+4
8x^2+9y^2-4x-4=0
É uma cônica (elipse deslocada).

Passo 4

Para a curva 9c) r=1+sin2theta. Usando sin2theta=2sinthetacostheta e sintheta=y/r,,costheta=x/r:
r=1+2xyr^2
Multiplicando por r^2:
r^3=r^2+2xy
E lembrando r^2=x^2+y^2:
(x^2+y^2)^3/2=x^2+y^2+2xy
Fica uma curva em forma de “oito” (lemniscata modificada).

Passo 5

Para a curva 9d) r=2sin^2(tfractheta2). Aplicando sin^2(tfractheta2)=(1-costheta)/2:
r=21-costheta2=1-costheta
Como costheta=x/r e r=raizx^2+y^2:
raizx^2+y^2=1-xraizx^2+y^2
Multiplicando por raizx^2+y^2 e rearranjando:
x^2+y^2-raizx^2+y^2+x=0
É a equação de um cardioide com concavidade voltada para a esquerda.

Resposta

9a) Equação cartesiana: x+raiz3,y=4. É uma reta.
9b) Equação cartesiana: 8x^2+9y^2-4x-4=0. É uma elipse deslocada.
9c) Equação cartesiana implícita: (x^2+y^2)^3/2=x^2+y^2+2xy. É uma lemniscata modificada.
9d) Equação cartesiana implícita: x^2+y^2-raizx^2+y^2+x=0. É um cardioide voltado para a esquerda.

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