Determine as equações cartesianas das curvas abaixo dadas em coordenadas polares e faça um esboço.
9a)
.
9b)
.
9c)
.
9d)
.
9a)
9b)
9c)
9d)
Passo 1
O objetivo é transformar as quatro curvas dadas em coordenadas polares em suas equações cartesianas e depois esboçar cada uma. Vamos usar a relação básica entre polares e cartesianas:
,
, e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Para a curva 9a) temos
. Aplicando a fórmula de cosseno da diferença:
Então
Substituindo
e
obtemos
Multiplicando por 2:
É a equação de uma reta. O esboço é uma linha com coeficiente angular
e intercepto em
.
Passo 3
Para a curva 9b)
. Multiplicando:
Fica
Como
e
,
Isolando e elevando ao quadrado:
Logo
É uma cônica (elipse deslocada).
Passo 4
Para a curva 9c)
. Usando
e
:
Multiplicando por
:
E lembrando
:
Fica uma curva em forma de “oito” (lemniscata modificada).
Passo 5
Para a curva 9d)
. Aplicando
:
Como
e
:
Multiplicando por
e rearranjando:
É a equação de um cardioide com concavidade voltada para a esquerda.
Resposta
9a) Equação cartesiana:
. É uma reta.
9b) Equação cartesiana: . É uma elipse deslocada.
9c) Equação cartesiana implícita: . É uma lemniscata modificada.
9d) Equação cartesiana implícita: . É um cardioide voltado para a esquerda.
9b) Equação cartesiana:
9c) Equação cartesiana implícita:
9d) Equação cartesiana implícita: