Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando:
lim (x, y) (0,0) sen(x^2+y^2)x^2+2 y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se lim(x,y)to(0,0)dfracsin(x^2+y^2)x^2+2y^2=1. O conteúdo é limite de função de duas variáveis, e vamos precisar de aproximação de sin t perto de zero e de analisar caminhos distintos.

Passo 2

Para t pequeno vale a expansão de Taylor sin t = t + o(t). Logo perto de (0,0) temos aproximadamente:
sin(x^2+y^2)x^2+2y^2approx x^2+y^2x^2+2y^2

Passo 3

Pelo caminho y=0 a expressão vira dfracx^2+0x^2+0=1, logo o limite é 1 nessa reta.
Pelo caminho x=0 a expressão vira dfrac0+y^20+2y^2=tfrac12, logo o limite é tfrac12 nessa reta.

Passo 4

Como pelos dois caminhos obtemos valores diferentes (1 e tfrac12), o limite não existe e, portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa, pois o limite não existe (vai a 1 por y=0 e a tfrac12 por x=0).

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