Provar as identidades:
(30.1)
.
(30.1)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,t)=sen(a p x) sen(p t)
satisfaz a identidade a² ∂²f/∂t² = ∂²f/∂x². O conteúdo envolve derivadas parciais e uso da regra da cadeia.
f(x,t)=sen(a p x) sen(p t)
satisfaz a identidade a² ∂²f/∂t² = ∂²f/∂x². O conteúdo envolve derivadas parciais e uso da regra da cadeia.
Passo 2
Vamos calcular ∂f/∂t usando a regra da cadeia. A parte sen(a p x) é constante em relação a t e a parte sen(p t) gera um coseno multiplicado pelo coeficiente p. Logo:
Para ∂/∂t:
Passo 3
Agora derivamos novamente em t para obter ∂²f/∂t². Aplicando a regra da cadeia a p cos(p t) temos:
$$∂²f/∂t² = sen(a p x) \cdot p \bigl(-p sen(p t)\bigr) = -p² sen(a p x) sen(p t).
$$
Passo 4
Multiplicando por a², ficamos com
$$a² ∂²f/∂t² = -a² p² sen(a p x) sen(p t).
$$
Passo 5
Agora vamos em x. Primeiro ∂f/∂x, onde sen(p t) é constante e sen(a p x) gera um coseno multiplicado por a p. Assim:
$$∂f/∂x = a p cos(a p x) \cdot sen(p t).
$$
Passo 6
Derivando de novo em x para obter ∂²f/∂x², aplicamos a regra da cadeia ao a p cos(a p x):
$$∂²f/∂x² = a p \bigl(-a p sen(a p x)\bigr) \cdot sen(p t) = -a² p² sen(a p x) sen(p t).
$$
Passo 7
Como ambos os lados são iguais a
, concluímos que
$$a² ∂²f/∂t² = ∂²f/∂x².
$$
Resposta
Identidade provada, pois ambos os lados valem
.