Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o comprimento do arco da curva definida por
, onde
varia de
a
. Essa curva representa uma elipse com semi-eixos
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Para calcular o comprimento do arco de uma curva paramétrica
no intervalo
, usamos a fórmula:
Essa fórmula basicamente soma pequenos pedaços do arco, calculando a distância infinitesimal entre pontos próximos na curva.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
da nossa curva:
Agora, precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Essas derivadas representam as taxas de variação das coordenadas
e
em relação a
.
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 6
Simplificando dentro da raiz:
Então,
Passo 7
Colocando de volta na integral:
Essa integral representa o comprimento do arco da elipse.
Passo 8
Essa integral não tem uma solução elementar em termos de funções básicas. Ela é conhecida como uma integral elíptica. Portanto, o comprimento do arco da elipse é dado por:
Resposta
O comprimento do arco da curva
para
é: