Calcule o comprimento do arco das seguintes curvas:
alpha(t)=(a cos t, b sen t), com t in[0,2 pi].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o comprimento do arco da curva definida por alpha(t) = (a cos t, b sin t), onde t varia de 0 a 2pi. Essa curva representa uma elipse com semi-eixos a e b. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Para calcular o comprimento do arco de uma curva paramétrica alpha(t) = (x(t), y(t)) no intervalo a <= t <= b, usamos a fórmula:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Essa fórmula basicamente soma pequenos pedaços do arco, calculando a distância infinitesimal entre pontos próximos na curva.

Passo 3

Vamos identificar as funções x(t) e y(t) da nossa curva:
x(t) = a cos t
y(t) = b sin t
Agora, precisamos calcular as derivadas dessas funções em relação a t.

Passo 4

Calculando as derivadas:
dxdt = -a sin t
dydt = b cos t
Essas derivadas representam as taxas de variação das coordenadas x e y em relação a t.

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento do arco:
L = integral0^2pi raiz(-a sin t)^2 + (b cos t)^2 , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
(-a sin t)^2 = a^2 sin^2 t
(b cos t)^2 = b^2 cos^2 t
Então,
raiza^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t

Passo 7

Colocando de volta na integral:
L = integral0^2pi raiza^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t , dt
Essa integral representa o comprimento do arco da elipse.

Passo 8

Essa integral não tem uma solução elementar em termos de funções básicas. Ela é conhecida como uma integral elíptica. Portanto, o comprimento do arco da elipse é dado por:
L = integral0^2pi raiza^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t , dt

Resposta

O comprimento do arco da curva alpha(t) = (a cos t, b sin t) para t in [0, 2pi] é:
L = integral0^2pi raiza^2 sin^2 t + b^2 cos^2 t , dt

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