Calcule o comprimento de arco das seguintes curvas:
x=\cos t, y=\sin t, z=13, \pi \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva paramétrica em \mathbb{R}^3 definida por
x(t)=\cos t,\quad y(t)=\sin t,\quad z(t)=13,
para t variando de \pi até 2\pi. Queremos o comprimento de arco dessa curva. O conteúdo aqui é comprimento de curva paramétrica em \mathbb{R}^3, cuja fórmula é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}+\bigl(z'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas das coordenadas em relação a t:
x'(t)=-\sin t,\quad y'(t)=\cos t,\quad z'(t)=0.
Logo, a norma do vetor velocidade é
\sqrt{\bigl(-\sin t\bigr)^{2}+\bigl(\cos t\bigr)^{2}+0^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t} =1.

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, temos
L=\int_{\pi}^{2\pi}1\;dt =\bigl[t\bigr]_{\pi}^{2\pi} =2\pi-\pi=\pi.

Resposta

\pi

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